数列解答题模型六：数列与主干知识的交汇问题-2023届高考数学重点突破讲义

题型六 数列与主干知识的交汇问题 一、数列与函数的融合 1. (陈题新编)数列{}的首项a1＝t,前n项和满足=t+t (t≠0,n=2,3,4…) (1)求和 (2) =lg丨丨,当t=－时,是否存在正整数m,使对任意正整数n,都有≥?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由. 2.已知函数，数列满足． （Ⅰ）记，，数列的前项和为，对于给定的正整数，如果恒为定值（与的变化无关），求的值． 二、在数列中解不等式 3. 已知是公差不为零的等差数列的前项和，是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设数列，数列的前项和为，若，求正整数的最小值. 三、数列不等式中放缩 4. 等差数列满足，，，成等比数列，数列满足，. （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）数列的前项和为，证明. 5. 已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n项和， ，其中q>0， . （I）若 成等差数列，求的通项公式； (Ⅱ)设双曲线的离心率为，且，证明：． 【强化演练】 1.（人教A版必修五第68页复习参考题A组第11题和人教A版必修五第61页习题A组第4（3）小题改编）、已知数列{a}是首项a1＞0，q＞-1且q≠0的等比数列，设数列{b}的通项b=a-ka(n∈N)，数列{a}、{b}的前n项和分别为S，T．如果T＞kS对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围． 2.（ 2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 3.(2022·上海嘉定区一中期末)根据预测，疫情期间，某医院第n(n∈N*)天口罩供应量和消耗量分别为an和bn(单位：个)，其中an＝bn＝n＋5，第n天末的口罩保有量是前n天的累计供应量与消耗量的差． (1)求该医院第4天末的口罩保有量； (2)已知该医院口罩仓库在第n天末的口罩容纳量Sn＝－4(n－46)2＋8 800(单位：个)．设在某天末，口罩保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量？ 4.（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型六 数列与主干知识的交汇问题 一、数列与函数的融合 1. (陈题新编)数列{}的首项a1＝t,前n项和满足=t+t (t≠0,n=2,3,4…) (1)求和 (2) =lg丨丨,当t=－时,是否存在正整数m,使对任意正整数n,都有≥?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由. 【解析】(1) =t+t ①=t+t② ①-②得=t (n≥2) 又=t+= t+t ∴= t =t ∴=t ∴{}是以t为首项,以t为公比的等比数列, = t t=1时, =n t≠1时, =t ∴ (2) =n tlg丨t丨 ∵－1<t<0 ∴n为偶数时, <0 n为奇数时, >0若存在满足条件的正整数m,则m一定是偶数, －=2 lg丨t丨t[ (k+1) t－k] ∵t=－ t= 2 lg丨t丨<0 t>0 ∴k>时, > 即b< b< b<… k<时, < 即b< b< b< b<… ∴存在正整数m=8 【点睛】公比不明确时，求和必讨论公比是学生的“软肋”。分类讨论思想、等价转换思想，是一道很具代表性的数列的综合题. 2.已知函数，数列满足． （Ⅰ）记，，数列的前项和为，对于给定的正整数，如果恒为定值（与的变化无关），求的值． 【解析】(Ⅰ），∴为等比数列，公比 ∴， ① ，② ①－②得， . …………6分 （Ⅱ）∵，，且， ∴．∴数列是首项为2，公比为的等比数列，∴． ∴． ∵，∴是首项为，公差为的等差数列． ∴． ∵ ， 又∵恒为定值（即与的变化无关）， ∴，解得． 二、在数列中解不等式 3. 已知是公差不为零的等差数列的前项和，是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设数列，数列的前项和为，若，求正整数的最小值. 【解析】（1）公差不为零的等差数列，由是与的等比中项，可得 ，即，解得. 又，可得，所以数列是以1为首项和公差的等差数列，所以. （2）由（1）可知， ， ，所以的最小值为505. 三、数列不等式中放缩 4. 等差数列满足，，，成等比数列，数列满足，. （Ⅰ）求数列，的通项公式； （