数列解答题模型五：数列中的存在、恒成立问题-2023届高考数学重点突破讲义

在数列中的“存在、恒成立问题” 在“知识交汇处命题”是高考试题的主要特色，不等式中的“存在、恒成立问题”是高考经久不衰、常考常新的热点问题。数列作为特殊函数，“存在、恒成立问题”能巧妙地植入数列中，甚至是以数列形式进行巧妙“包装”。 一、探究数列中的存在性问题 例1.在公差不为零的等差数列和等比数列{ b}中 , b , = b, = b,问是否存在常数、b使得一切n∈N，都有=log+b成立，若存在，求出所有n的值，若不存在说明理由。 二、与分组求和整合 例2..已知数列中， （1）求证：数列与都是等比数列； （2）求数列前的和； （3）若数列前的和为，不等式对恒成立，求的最大值。 三、与裂项相消求和交汇． 例3.已知各项为正的数列的前项和为 。 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，为数列的前项和，当不等式（）恒成立时，求实数的取值范围。 四、与错位相减求和联合 例4.（2015.成都一模）已知各项均为正数的等差数列前三项的和为27，且满足.数列的前n项和为，且对一切正整数n,点(n，Sn)都在函数的图象上. (I) 求数列和的通项公式； (II)设数列的前n项和，且，若对恒成立,试证明： 四、与函数思想----数列单调性解整合 例5．在①Sn＝2bn－1，②－4bn＝bn－1(n≥2)，③bn＝bn－1＋2(n≥2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由．已知数列{an}为等比数列，a1＝，a3＝a1a2，数列{bn}的首项b1＝1，其前n项和为Sn，__________，是否存在k∈N*，使得对任意n∈N*，anbn≤akbk恒成立？ 五、与主干知识“联谊” 例6、（2022届浙江省高考仿真模拟（5）T20）已知数列满足，，数列满足，． （Ⅰ）数列，的通项公式； （Ⅱ）若，求使成立(表示不超过的最大整数)的最大整数的值． 【强化演练】 1.已知数列各项均为正数，为其前项和，且对任意的，都有. (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)若对任意的恒成立，求实数的最大值. 2.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an＋1＝2Sn＋2． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}的各项均为正数，且bn是与的等比中项，求bn的前n项和为Tn；若对任意，都有，求实数的取值范围． . 3.(2021届天津市滨海新区高三毕业班质量监测（二）T19）已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为，且满足，. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求数列前项和； （Ⅲ）在数列中，是否存在连续的三项，，，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，说明理由. 4. (浙江省诸暨海亮高级中学2021-2022学年高三上学期选考模拟最后一测T20.）已知数列满足 . 求数列的通项公式 . 设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围 . 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 在数列中的“存在、恒成立问题” 在“知识交汇处命题”是高考试题的主要特色，不等式中的“存在、恒成立问题”是高考经久不衰、常考常新的热点问题。数列作为特殊函数，“存在、恒成立问题”能巧妙地植入数列中，甚至是以数列形式进行巧妙“包装”。 一、探究数列中的存在性问题 例1.在公差不为零的等差数列和等比数列{ b}中 , b , = b, = b,问是否存在常数、b使得一切n∈N，都有=log+b成立，若存在，求出所有n的值，若不存在说明理由。 【解析】易得数列的公差d=5, 数列{ b}的公比q=6,假设存在常数、b使=log+b 成立，即1+5(n-1)= log,(5- log)n=4+b- log 对一切n∈N成立于∴解得a=6 b=1∴存在常数 =6 b=1 满足题意。 【点睛】是否存在的探索性题的一般解法：假设存在，再演绎推理，导出矛盾或找出结论。 二、与分组求和整合 例2..已知数列中， （1）求证：数列与都是等比数列； （2）求数列前的和； （3）若数列前的和为，不等式对恒成立，求的最大值。 【解析】（1）∵，∴ ∴数列是以1为首项，为公比的等比数列； 数列是以为首项，为公比的等比数列。 （2） （3） 当且仅当时取等号，所以，即，∴的最大值为－48 【点睛】数列中的恒成立问题“参变分离”后等价转化成以正整数n为自变量的函数问题来求解。如本题中通过分组把非特殊数列转化成两个等比数列求和，再利用分离常数法求函数最值即可。 三、与裂项相消求和交汇． 例3.已知各项为正的数列的前项和为 。 （1）求数列的通项公式； （