数列解答题模型二：等差、等比数列的判断与证明-2023届高考数学重点突破讲义

模型二:等差、等比数列的判断与证明 一.方法梳理: 1.判断等差数列的常用方法 ①定义法:an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列； ②通项公式法:an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列； ③中项公式法:2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列； ④前n项和公式法:Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列． 2.判断等比数列的常用方法 ①定义法:＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列； ②通项公式法:an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列； ③中项公式法:a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列． ④前n项和公式法: 二.典例剖析 (一)直接证明某数列是等差(比)数列 例1．已知数列的前n项和为． （Ⅰ）若为等差数列，求证：； （Ⅱ）若，求证：为等差数列． (二)搭“桥数列”，再求通项公式 例2.已知各项都为正数的数列满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求的通项公式． （三）等差（比）数列的逆向探究问题 例3.数列满足 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）记，是否存在一个实数t，使数列为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由； 【强化演练】 １．记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ. (1)当λ＝3时，求{an}的通项公式； (2)是否存在常数λ，使得{an}为等比数列？请说明理由． 2.数列中，，，数列是公比为的等比数列. （1）求使成立的的取值范围； （2）若，求的表达式； 3.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式； (2)若an＋1an，n∈N*，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 模型二:等差、等比数列的判断与证明 一.方法梳理: 1.判断等差数列的常用方法 ①定义法:an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列； ②通项公式法:an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列； ③中项公式法:2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列； ④前n项和公式法:Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列． 2.判断等比数列的常用方法 ①定义法:＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列； ②通项公式法:an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列； ③中项公式法:a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列． ④前n项和公式法: 二.典例剖析 (一)直接证明某数列是等差(比)数列 例1．已知数列的前n项和为． （Ⅰ）若为等差数列，求证：； （Ⅱ）若，求证：为等差数列． 【分析】（1）根据为等差数列，利用倒序相加法证明即可； （2）由前n项和公式有、，相加后整理可得，为等差数列得证． 【解析】（Ⅰ）证明：已知数列为等差数列，设其公差为d， 则有， 于是，① 又，② ①+②得：，即． （Ⅱ）证明：∵，当时，， ∴，③ ，④ ④-③并整理，得，即， ∴数列是等差数列． (二)搭“桥数列”，再求通项公式 例2.已知各项都为正数的数列满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）（） 【分析】（1）两边同时加上即可得到数列为等比数列；（2）利用待定系数法构造，通过整理解出，进而得到，所以是以为首项，3为公比的等比数列，即可得到答案. 【解析】（1）由可得： 因为各项都为正数，所以， 所以是公比为3的等比数列. （2）构造，整理得： 所以，即 所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以（） （三）等差（比）数列的逆向探究问题 例3.数列满足 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）记，是否存在一个实数t，使数列为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由； 【解析】（Ⅰ）由 （Ⅱ）假设存在实数t，使得为等差数列.则 存在t=1，使得数列为等差数列. 【强化演练】 １．记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ. (1)当λ＝3时，求{an}的通项公式； (2)是否存在常数λ，使得{an}为等比数列？请说明理由． 【解析】(1)当λ＝3时，Sn＝2n＋3，∴a1＝S1＝