数列解答题模型一：数列的基本量、性质与应用 -2023届高考数学重点突破讲义

模型一.数列的基本量的计算、性质与应用 一.数列的计算(基本法或性质法)求通项与前n项和. 1. （2022·湖南长沙市·长郡中学高三一模）已知等差数列的前n项和为，且满足. （1）求数列的通项公式; （2）若数列满足，求数列的前项和. 2.（教材改编）已知等比数列的公比为q，前n项的和为Sn， （Ⅰ）若S3，S9，S6成等差数列，求证：成等差数列 （Ⅱ）若是和的等差中项，问：Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列吗？ 3.. [2022·山东聊城模拟]在①，，成等比数列，②S4＝28，③Sn＋1＝Sn＋an＋4，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答． 已知{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，a2＝5，________，{bn}是等比数列，b2＝9，b1＋b3＝30，公比q>1. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)数列{an}和{bn}的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求T80＝c1＋c2＋c3＋…＋c80. 二. 数列的基本量运算与函数思想的运用 4.（“皖豫名校联盟体”2021届高中毕业班第二次考试文科数学17）已知数列{an}的前n项和Sn＝1+2an，在等差数列{bn}中，b1＝20，b3＝b5+b9． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列中项的最大值． 【强化训练】 1.（2021·四川成都市·川大附中高三模拟）已知数列是等差数列，且，，数列是递增的等比数列且，． （1）求数列的通项公式； （2）求． 2. （2021届辽宁省葫芦岛市高三下学期第二次模拟T17） 设公比为整数的等比数列{an}满足a2＋a3＝30，a2-a1＝4. （1）求{an}的通项公式; （2）令bn= log5an ,记Sn为数列{bn}的前n项和，若Sm-1Sm＝bmSm+1(m≥2)，求m的值. 3.（2022·山东实验中学高三一模）在①；②；③是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为常数，， （1）求数列的通项公式； （2）令其中表示不超过的最大整数，求的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 学科网（北京）股份有限公司 $ 模型一.数列的基本量的计算、性质与应用 一.数列的计算(基本法或性质法)求通项与前n项和. 1. （2022·湖南长沙市·长郡中学高三一模）已知等差数列的前n项和为，且满足. （1）求数列的通项公式; （2）若数列满足，求数列的前项和. 【解析】设公差为，依题意得 解得 所以. ， . 2.（教材改编）已知等比数列的公比为q，前n项的和为Sn， （Ⅰ）若S3，S9，S6成等差数列，求证：成等差数列 （Ⅱ）若是和的等差中项，问：Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列吗？ 【解析】（Ⅰ）由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9 若q=1，则3+6=18， ∴这与是等比数列邓质 ∴ 于是有 整理，得q3+q6=2q9∵ ∴ ∴ 即 ∴ 成等差数列 （Ⅱ）依题意，得2 = + ∴2a1qm+1 = a1qm + a1qm – 1 在等比数列中，≠0，q≠0，∴2q2 = q +1，解得q = 1或. （Ⅱ）若q = 1， Sm + Sm+1 = m + (m+1) =(2m+1) ，Sm + 2 = (m+2) a1 ∵≠0，∴2Sm+2≠S m + Sm+1 若q =，Sm + 1 = Sm + Sm+1 = = ∴2 Sm+2 = S m + Sm+1 故当q = 1时，Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列； 当q =时，Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列. 3.. [2022·山东聊城模拟]在①，，成等比数列，②S4＝28，③Sn＋1＝Sn＋an＋4，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答． 已知{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，a2＝5，________，{bn}是等比数列，b2＝9，b1＋b3＝30，公比q>1. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)数列{an}和{bn}的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求T80＝c1＋c2＋c3＋…＋c80. 【分析】（1）分别选①②③，由等比数列的中项性质和等差数列的定义、等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，可得所求； （2）首先判断{cn}的前80项中，数列{bn}的项最多有5项，推得