第08讲：圆锥曲线中的三点共线问题-冲刺2023年高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第八讲：三点共线问题 【学习目标】 基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，坐标的表示； 应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物线联立求解，并表示交点，向量，斜率等计算量； 拓展目标：能够熟练掌握三点共线的表达和求解方法. 素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养. 【基础知识】 解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形和坐标等的分析，在一定程度上可以进行坐标的计算，达到解决解析几何的目的，因此在解析几何中的三点共线证明上，重点放在点的坐标的表示和计算中。 解析几何证明三点共线的方法： （1）直接证明其中一点在过另两点的直线上； （2）证明过其中一点和另两点所连两条直线斜率相等； （3）证明过其中一点和另两点所连两个向量共线. 【考点剖析】 考点一：证明三点共线 例1．已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线. 变式训练1：已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知、分别是椭圆的左、右顶点，是直线上不与点重合的任意一点，是坐标原点，与直线垂直的直线与的另一个交点为.求证：、、三点共线. 变式训练2：已知椭圆的右焦点为，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左顶点为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于两点，直线交直线于点，若直线上存在另一点，使.求证：三点共线. 变式训练3：如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为． (1)若直线平分线段，求的值； (2)求面积的最大值，并指出对应的点的坐标； (3)对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线． 考点二：已知三点共线（求坐标） 例1．如图，已知椭圆E：（）的右焦点为，离心率，过F作一直线交椭圆E于A，B两点（其中A在x轴的上方），过点A作直线：的垂线，垂足为C． （1）求椭圆的方程； （2）问：在轴上是否存在一个定点T，使得B，T，C三点共线？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由. 变式训练1：已知长轴长为的椭圆过点,点是椭圆的右焦点. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在轴上的定点,使得过点的直线交椭圆于两点，设为点关于轴的对称点，且三点共线？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由. 变式训练2：已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 变式训练3：已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 考点三：已知三点共线求参 例1．已知椭圆C：（）的短轴长为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设分别为椭圆的左、右顶点，过点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点是否存在实数（），使得直线：与直线的交点满足三点共线？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由. 变式训练1：已知椭圆C：（）的右准线方程为，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线经过点A，且点F到直线的距离为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）将直线绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线的斜率. 变式训练2：设双曲线的上焦点为是双曲线上的两个不同的点. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)设直线与轴交于点，关于轴的对称点为.若三点共线，求证：为定值. 变式训练3：已知椭圆的离心率为，为椭圆上任意一点，且已知. （1）若椭圆的短轴长为，求的最大值； （2）若直线交椭圆的另一个点为，直线交轴于点，点关于直线对称点为，且，三点共线，求椭圆的标准方程. 考点三：已知三点共线求范围 例1．已知椭圆：的离心率为，且过点，椭圆的右顶点为，点的坐标为． （1）求椭圆的方程； （2）已知纵坐标不同的两点，为椭圆上的两个点，且，，三点共线，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围． 变式训练1：在平面直角坐标系中，的两个顶点，的坐标分别为，，平面内两点，同时满足以下3个条件： ①是三条边中线的交点；②是的外心；③． （Ⅰ）求的顶点的轨迹方程； （Ⅱ）若点与（Ⅰ）中轨迹上的点，三点共线，求的取值