必考点03 多边形及其内角和-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上册精选专题（人教版）

必考点03 多边形及其内角和 ●题型一 利用内、外角和公式求边数 ★★★1、已知正多边形的内角度数，求边数 【例题1】（2022春•会宁县期末）一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的3倍，则这个正多边形是（　　） A．正十二边形 B．正十边形 C．正八边形 D．正六边形 【分析】设这个正多边的外角为x°，则内角为3x°，根据内角和外角互补可得x+3x＝180，解可得x的值，再利用外角和360°除以外角度数可得边数． 【解答】解：设这个正多边的一个外角为x°，由题意得： x+3x＝180， 解得：x＝45， 360°÷45°＝8． 故选：C． 【点评】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数． 【例题2】（2022•麻栗坡县校级模拟）若正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的内角和的度数为（　　） A．1080° B．1260° C．1350° D．1440° 【分析】先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和． 【解答】解：正多边形的边数为：360°÷45°＝8，即这个多边形是正八边形， 所以该多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°． 故选：A． 【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理及多边形的内角和公式，关键是掌握多边形内角和公式：（n﹣2）▪180 （n≥3）且n为整数）． 【例题3】（2022春•南阳期末）已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的3倍多20°，求这个正多边形的边数和它的内角和． 【分析】一个正多边形的每个内角比它相邻的外角的3倍多20°，又由于内角与外角的和是180度．设内角是x°，外角是180°﹣x°，列方程求解，再根据多边形的外角和与内角和定理求解． 【解答】解：设内角是x°，外角是180°﹣x°， 则得到方程 x＝3（180﹣x）+20， 解得x＝140， 180°﹣x°＝40°． 而任何多边形的外角是360°， 则多边形内角和中的外角的个数是360÷40＝9， 则这个多边形的边数是20边形，内角和为（9﹣2）×180°＝1260°． 故这个多边形的边数为9，内角和为1260°． 【点评】本题考查的是多边形内角与外角，根据多边形的内角与外角的关系转化为方程的问题，并利用了多边形的外角和与内角和定理；已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容． ★★★2、已知多边形的内角和，求边数 【例题4】（2022春•洋县期末）如果一个多边形的每一个内角都是144°，那么这个多边形是 　 　边形． 【分析】先利用多边形的每个外角与相邻的内角互补得到这个多边形的每个外角都是（180°﹣144°）＝36°，然后根据n边的外角和为360°即可得到其边数． 【解答】解：∵一个多边形的每个内角都是144°， ∴这个多边形的每个外角都是（180°﹣144°）＝36°， ∴这个多边形的边数＝360°÷36°＝10． 故答案为：十． 【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和定理．解题的关键是熟练掌握多边形的内角和和外角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边的外角和为360°． 【例题5】（2021秋•仁怀市校级月考）若两个多边形的边数之比为2：3，两个多边形的内角和之和为1080°，求这两个多边形的边数． 【分析】根据等量关系“两个多边形的内角之和为1080°”列方程求解，解答时要会根据公式进行正确运算、 变形和数据处理． 【解答】解：设多边形较少的边数为2n,则 （2n-2）•180°+（3n-2）•180°=1080°， 解得n=2． 2n=4，3n=6． 故这两个多边形的边数分别为4，6． 【点评】本题考查多边形的内角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式． ★★★3、已知多边形的内角和与外角和的关系，求边数 【例题6】（2021秋•泰山区期末）某多边形的内角和与外角和的总和为2160°，此多边形的边数是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】依题意，多边形的外角和为360°，该多边形的内角和与外角和的总和为2160°，故内角和为1800°．根据多边形的内角和公式易求解． 【解答】解：该多边形的外角和为360°， 故内角和为2160°﹣360°＝1800°， 故（n﹣2）•180°＝1800°， 解得n＝12． 故选：D． 【点评】本题考查的是多边形内角与外角的相关知识，比较简单． 【例题7】（2022•顺德区一模）若一个正多边形的内角是外角的3倍，则这个正多边形的边数为　 　． 【分析】设正多边形的边数为n，利用多边形的内角和公式和外角和定理即可解答． 【解答】解：设正多边形的边数为n，由题意得： （n﹣2）•180°＝3×360°， 解得：n＝8， 故答案为：8．