专题6.3 反比例函数中的三角形存在性问题（强化）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题6.3 反比例函数中三角形存在性问题 【例题精讲】 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象的一个交点为，另一个交点为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点到直线的距离； （3）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）一次函数过， ， ， 把代入得：， 反比例函数为； （2）设点到直线的距离为，过点作轴，垂足为． 一次函数与轴交于点， 点的坐标是． ， 在中，， ， ． 点到直线的距离为． （3）设． 由，解得或， ，． 当时，， ， ，或． 当时，，， ， ，或，． 当时，， ， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或，或或，或，． 如图，直线与双曲线相交于，两点，点的坐标为． （1）求直线和双曲线的函数表达式； （2）在轴正半轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将点代入直线中，得，， 直线的解析式为； 将点代入双曲线中，得，， 双曲线的解析式为； （2）存在点，使为直角三角形， 由（1）知，直线的解析式为①，双曲线的解析式为②， 联立①②解得，或， ， ， 设， ，， 是直角三角形， Ⅰ、当时，， ， ， ， Ⅱ、当时，， ， ， （不符合题意，舍去）， Ⅲ、当时，， ， ， ，或，（不符合题意，舍去）， ，或． 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，． （1）求反比例函数的表达式． （2）连接，，，求的面积． （3）是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）， 点坐标轴为3， ， ， ， 是线段的中点， ， ， ， ， ； （2） ； （3）存在点，使得是等腰直角三角形，理由如下： 设直线的解析式为， ， ， ， 设， ①当时，， 点与点重合， 此时； ②当时，， ， 解得， ； ③当时，， ， 解得， ； 综上所述：点坐标为或或． 【题组训练】 3．如图，直线与坐标轴交于、两点，以为边在右侧作正方形，过作轴于点，过点的反比例函数与直线交于、两点． （1）求反比例函数表达式； （2）根据图象，求出不等式的解集； （3）在上是否存在一点使为等腰三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）四边形是正方形， ，， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ． 对于直线， 令，则， ， ， 令，则， ， ， ， ， ，， ，将点代入反比例函数中，得， 反比例函数的解析式为①． （2）直线的解析式为②， 联立①②得，， 解得，或， ，， 由图象可得不等式的解集为． （3）过点作轴于点． 同法可证， ，， ， ，设， ，，， ①当为等腰三角形，时，， ， 解得：， 此时． ②当为等腰三角形，时，， ， 解得：，， 此时，． ③当为等腰三角形，时， ，， ， 解得：， 此时． 点的坐标为：，，，，． 4．如图，平行四边形的面积为12，轴，，与轴分别交于点，，对角线，的交点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为轴上的点，连接，若为等腰三角形，求满足条件的点的坐标． 【解答】解：（1）轴，轴．点，且平行四边形对角线交于坐标原点， ，， ， 平行四边形的面积为12， ， ，． 点． 将点代入，得， ． 反比例函数的解析式为； （2）在中，根据勾股定理，得．当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，若点在轴的负半轴上，则点，若点在轴的正半轴上，则点； ②当时，点在的垂直平分线上，如图， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； ③当时，点在的垂直平分线上， 点的坐标为． 综上可知，点的坐标为或或或． 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，设直线交轴于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若点是反比例函数图象上的一点，且是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 【解答】解：（1）将点代入得，， ， 将点代入得，， ， 将点，代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）当时，， ， ， ， 点在的垂直平分线上， 点的横坐标为， ． 7．已知点、点在反比例函数图象上，点是轴上的一个动点． （1）求的值； （2）若，，试判断的形状，并说明理由； （3）若点在轴正半轴上，当为等腰直角三角形时，求出点的坐标． 【解答】解：（1）点在反比例函数图象上， ； （2）是等腰直角三角形，理由如下： 当，时， 点，反比例函数解析式为， ， 点， 点，点，点， ，，， ，， ， 是等腰直角三角形； （3）如图，当时，过点作轴于点，过点作轴于点， 点