专题6.2 反比例函数中的最值问题（强化）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题6.2 反比例函数中的最值问题 【例题精讲】 如图的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点为反比例函数图象第一象限上点下方一个动点，过点作轴交线段于点，连接，求的面积的最大值． 【解答】解：（1）把代入， 得，解得， 直线解析式为， 当时，， ． 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）设，则，． ， ， 当时，的面积有最大值． 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点． （1）求一次函数的表达式； （2）在第一象限内，当一次函数的值大于反比例函数的值时，求自变量的取值范围； （3）若在轴上有一动点，连接，，求当的值最小时，点的坐标． 【解答】解：（1）在反比例函数上， ， 解得， 即， 点在一次函数上， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）由（1）知， 解得或， ，， 由图象可知，自变量的取值范围为； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ， ， 当点在位置时，有最小值， ， ， 设直线的解析式为， 代入点和点坐标得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ，． 【题组训练】 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，且，，同时交反比例函数在第一象限的图象于点，反比例函数图象上的点的纵坐标，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接， ． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求面积的最大值． 【解答】解：（1）， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 一次函数的解析式为：， 点在一次函数的图象上， ， ， 点在反比例函数第一象限的图象上， ， 反比例函数为； （2）点的纵坐标，则，，， ， ， 当时，有最大值，最大值为18． 3．如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，直线的解析式为． （1）求反比例函数和直线的解析式． （2）在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标． （3）在（2）的条件下，的周长最小值是 　　． 【解答】解：（1）点是边的中点，， ， 矩形中，， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数为， 代入，得， 点的坐标为， 直线过点和点， ，解得：， 直线的解析式为； （2）作点关于轴的对称点，连结交轴于点，此时的周长最小， 点的坐标为， 点的坐标为， 设直线为， 直线过点和点， ， 解得， 直线为， 当时，， 点的坐标为； （3）的周长最小值． 因此，的周长最小值是． 故答案为：． 4．如图，一次函数交反比例函数于，两点，过点作轴于点，的面积为3． （1）求反比例函数的解析式； （2）为轴上一个动点，当有最小值时，求点的坐标． 【解答】解：（1）， ， 反比例函数的解析式； （2）解得或， ，， 作关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时有最小值， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 令，则， 点的坐标为． 5．如图，正方形的边在轴上，点的坐标为，点是的中点，反比例函数的图象经过点，交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点是轴上的一个动点，求的最小值． 【解答】解：（1）点是的中点，， ． 反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为； （2）四边形的是正方形， ． 反比例函数的图象经过点， ． 设点关于轴的对称点为，则． ． 6．如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． （1）直接写出的值和点的坐标； （2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值． 【解答】解：（1），； （2）过点，点作轴的垂线，垂足分别为，，过点作关于轴的对称点， 连接，过点作轴的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，如图所示， ， 反比例函数解析式为：， ， ， ， ，， ， 点的坐标为． 点的坐标为， ，， 在中， ． 的最小值为． 7．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求、两点的坐标和反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标． 【解答】解：（1）把、两点的坐标代入， 得，，， 则、． 把代入，得， 反比例函数的表达式为； （2）一次函数的图象与轴交于点， ，， 、， ； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ， 此时的值最小， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为，． 8．如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点． （1）求反比例函数和直线的解析式； （2）在轴上找一点，使的周长最小，请求出此时点的坐标，并直接写出周长的最小值． 【解答】解：（1）点是边的中点，， ， 四边形是矩形，， ，， 反比例函数的图象经过点， ， 反