综合测试01 空间向量与立体几何-2022-2023学年高二数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

高二学科素养能力竞赛空间向量与立体几何综合测试题 第I卷（选择题） 一、单选题: 本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． ，， B． ，， C． ，， D． ，， 2．已知空间中三点，，，则下列说法错误的是（    ） A．与不是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 3．如图，直三棱柱底面是直角三角形，且，E，F，G分别为，，的中点，则EF与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，某圆锥的轴截面，其中，点B是底面圆周上的一点，且，点M是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是(    ) A． B． C． D． 5．如图，已知矩形的对角线交于点，将沿翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，点N，M分别为和的重心，P为线段CM上一点．（    ） A．的最小为2 B．若DP⊥平面ABC，则 C．若DP⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为 D．若F为线段EN的中点，且，则 7．在棱长为的正方体中， 分别是的中点，下列说法错误的是（    ） A．四边形是菱形 B．直线与所成的角的余弦值是 C．直线与平面所成角的正弦值是 D．平面与平面所成角的正弦值是 8．如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论错误的是（    ） A．平面平面； B．点到直线的距离； C．若二面角的平面角的余弦值为，则； D．点A到平面的距离为． 二、多选题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．如图所示，在正方体中，下列各组向量的夹角为的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（    ） A． B． C．2 D． 11．如图，己知四棱锥的底面是直角梯形，， ，平面，，下列说法正确的是（        ） A．与所成的角是 B．平面与平面所成的锐二面角余弦值是 C．与平面所成的角的正弦值是 D．是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为 12．如图 ， 已知正方体的梭长为，为正方形底面内的一动点，则下列结论正确的有（    ） A．三棱雉的体积为定值 B．存在点，使得 C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段 D．若点是的中点，点是 的中点， 过作平面平面，则平面截正方体的截面周长为 第II卷（非选择题） 三、填空题: 本题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．已知是棱长为2的正方体内切球的一条直径，则_________． 14．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为_____________. 15．正四棱柱中，与平面所成角的正弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为______________． 16．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是______． ①若平面，则动点Q的轨迹是一条线段 ②存在Q点，使得平面 ③当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 ④若，那么Q点的轨迹长度为 四、解答题: 本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在三棱柱中，平面 . (1)求证:; (2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值. 18．如图1，已知等边的边长为，点分别是边上的点，且满足，如图2，将沿折起到的位置． (1)求证：平面平面； (2)给出三个条件：①；②平面平面；③四棱锥的体积为，从中任选一个，求平面和平面的夹角的余弦值． 19．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 20．如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置. 21．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点，，．沿