考点01 空间向量的运算及应用-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

考点01 空间向量的运算及应用 1、用已知向量表示未知向量的解题策略 (1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则． (3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立． 2、证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线. (1)； (2)对空间任一点O，； (3)对空间任一点O，． 3、证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 (1)； (2)对空间任一点O，； (3)对空间任一点O，； (4)∥(或∥或∥)． 4、空间向量数量积计算的两种方法 (1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. 5、空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度(距离) 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 注：①当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用； ② 当异面直线所成的角为时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是，，所以 ③立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝转化为向量求解． 6、空间向量的坐标运算 （1）设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果，则叫做向量的坐标． （2）设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么 ①a±b＝． ②a·b＝，③cos〈a，b〉＝， ④|a|＝＝，⑤λa＝， ⑥a∥b⇔(λ∈R)， ⑦a⊥b⇔. （3）设点M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)，则 考点一 空间向量的概念及其线性运算 1．（2022·全国·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是______. ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②是向