（普查练习）第19课 解三角形-2023版高考文科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第19课 解三角形 普查与练习19　　　　解三角形 1．利用正、余弦定理解三角形 a．利用正弦定理解三角形 (1)(2023汇编，20分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c. ①若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝__30°__． ②若sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝____． ③若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝____． ④若bsinA＋acosB＝0，则B＝____．(2019全国Ⅱ) 解析：①A＝60°，a＝4，b＝4，则由正弦定理， 得sinB＝＝＝. ∵a>b，∴B<60°，∴B＝30°. ②∵sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，且sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0， ∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0， ∴cosAsinC＋sinAsinC＝0. ∵sinC≠0， ∴cosA＝－sinA，∴cosA≠0，tanA＝－1. ∵0<A<π，∴A＝. 由正弦定理可得＝，∴sinC＝. ∵a＝2，c＝，∴sinC＝＝＝. ∵a>c，∴C＝. ③∵cosA＝，cosC＝，且A，C为三角形内角， ∴sinA＝，sinC＝，∴sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝. 由正弦定理＝，得b＝＝. ④已知bsinA＋acosB＝0，则由正弦定理可得sinBsinA＋sinAcosB＝0，即sinA(sinB＋cosB)＝0.∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴sinB＋cosB＝0.易得cosB≠0，化弦为切得tanB＋1＝0，∴tanB＝－1.又∵B∈(0，π)，∴B＝. (2)(2019浙江，6分)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝45°，则BD＝____，cos∠ABD＝____． 解析：在△ABC中，由∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，得AC＝5，sinC＝，cosC＝.在△BCD中，由正弦定理得＝， 则BD＝＝＝，cos∠ABD＝sin∠DBC＝sin(∠BDC＋∠C)＝sin∠BDCcosC＋cos∠BDCsinC＝×＋×＝. b．利用余弦定理解三角形 (3)(2021浙江，6分)在△ABC中，B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝__2__，cos∠MAC＝____． 解析：(法一)由题意作出图形，如图， 在△ABM中，由余弦定理得AM2＝AB2＋BM2－2BM·AB·cosB，即12＝4＋BM2－2BM×2×，解得BM＝4(负值舍去)，所以BC＝2BM＝8. 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝4＋64－2×2×8×＝52，所以AC＝2. 在△AMC中，已知AM＝2，AC＝2，CM＝4，由余弦定理的推论得cos∠MAC＝＝＝.故答案为2；. (法二)过点A作BC的垂线，垂足为H，如图所示． 已知AB＝2，∠B＝60°，所以AH＝ABsin60°＝2×＝，BH＝ABcos60°＝2×＝1. 因为AM＝2，所以由勾股定理可得HM＝＝＝3，所以BM＝BH＋HM＝4. 又因为M为BC中点， 所以CM＝BM＝4，CH＝CM＋MH＝7，所以由勾股定理可得AC＝＝＝＝2.　 因为sin∠MAH＝＝，cos∠MAH＝＝， sin∠CAH＝＝，cos∠CAH＝＝， 所以cos∠MAC＝cos(∠CAH－∠MAH) ＝cos∠CAHcos∠MAH＋sin∠CAHsin∠MAH ＝×＋×＝＝. 故答案为2；. (4)(2020全国Ⅲ，5分)在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB＝(　A　) A. B. C. D. 解析：根据题意，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝42＋32－2×4×3×＝9，解得AB＝3， 所以cosB＝＝＝.故选A. (5)(2020河南模拟，5分)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，＝，则角A的大小为(　A　) A. B. C. D. 解析：因为cosA＝，所以b2＋c2－a2＝2bccosA，所以＝＝，即sinA＝. 又△ABC为锐角三角形，所以A＝.故选A. (6)(2021广东东莞期末，5分)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则tan∠BAC＝(　D　) A. B．－ C．2 D．－2 解析：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D， (法一)由题意知AD＝BD＝BC，不妨设BC＝4，则AD＝BD＝1，DC＝3， 所以AB＝＝，AC＝＝. 在△ABC中，由余弦定理的推论，得 cos∠BAC＝＝＝－， 所以sin∠BAC＝＝， 所以tan