专题12.3 方案选择问题（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（沪科版）

专题12.3 方案选择问题 【典例1】2022年春，新冠肺炎疫情再次爆发后，全国人民众志成城抗击疫情．某省A，B两市成为疫情重灾区，抗疫物资一度严重紧缺，对口支援的C，D市获知A，B两市分别急需抗疫物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些抗疫物资全部调往A，B两市．已知从C市运往A，B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A，B两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨，并绘制出表： A（吨） B（吨） 合计（吨） C（吨） a b 240 D（吨） c x 260 总计（吨） 200 300 500 (1)________，________，________（用含x的代数式表示）； (2)设C，D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)由于途经地区的全力支持，D市到B市的运输路线得以改善和优化，缩短了运输时间，运费每吨减少m元，其余路线运费不变，若C，D两市的总运费的最小值为10320元，求m的值． 【思路点拨】 （1）根据“从D市运往B市的救灾物资为a吨，A、B两市分别急需抗疫物资200吨和300吨， C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨”即可算出a、b、c； （2）根据“从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A、B两市的费用别为每吨15元和30元”即可得w与x的函数关系式； （3）根据“D市到B市运费每吨减少m元，其余路线运费不变，若C、D两市的总运费的最小值为10320元”得到w、m、x之间的关系式，利用一次函数的性质分类讨论即可确定m的值． 【解题过程】 解：(1)∵D市运往B市吨， ∴D市运往A市吨，C市运往B市吨，C市运往A市（吨）， 故答案为：； (2)依题意得：， ∵， ∴， ∴w与x之间的函数关系式为，自变量x的取值范围为：； (3)依题意可得，， 当时，即，此时w随着x的增大而增大， 当时，w取得最小值，此时， 解得：， 当时，即，此时w随着x的增大而减小， 当时，w取得最小值，此时， 解得：， ∵， ∴不符合题意， ∴ ． 1．（2022·辽宁盘锦·八年级期末）某单位要制作一批宣传材料，洽谈了两家公司． 甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费； 乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费． (1)求甲公司收取费用y（元）与该单位要制作宣传材料x（份）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)选择哪家公司制作这批宣传材料，使此单位所付费用较少？ 【思路点拨】 （1）根据甲公司的收费方法列出函数关系式即可； （2）设当制作宣传材料x份时，乙公司收取费用为元，求出，然后分情况讨论即可． 【解题过程】 （1）解：由题意得，y＝20x＋3000                          ∴甲公司收取费用y（元）与制作宣传材料x（份）之间的函数关系式是y＝20x＋3000； （2）解：设当制作宣传材料x份时，乙公司收取费用为元， 由题意得，， 当时，即20x＋3000＞30x，解得x＜300． ∴当0＜x＜300时，选择乙公司付费较少． 当时，即20x＋3000＝30x，解得x＝300． ∴当x＝300时，选择甲公司或乙公司付费相同． 当时，即20x＋3000＜30x，解得x＞300． ∴当x＞300时，选择甲公司付费较少． 综上所述：当0＜x＜300时，选择乙公司付费较少； 当x＝300时，选择甲公司或乙公司付费相同； 当x＞300时，选择甲公司付费较少． 2．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过 1 千克的，按每千克 22 元收费；超过 1 千克，超过的部分按每千克 15元收费．乙公司表示：按每千克 16 元收费，另加包装费 3 元．设小明快递物品x 千克 (1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用 y（元）与 x（千克）之间的函数关系式； (2)当 x 为何值时小明选择乙快递公司更省钱？ 【思路点拨】 （1）根据“甲公司的费用＝起步价＋超出重量×续重单价”可得出关于x的函数关系式，根据“乙公司的费用＝快件重量×单价＋包装费用”即可得出关于x的函数关系式； （2）分0＜x≤1和x＞1两种情况讨论，令，解关于x的不等式即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：由题意知： 当0＜x≤1时，＝22x； 当1＜x时，＝22＋15（x﹣1）＝15x＋7， ＝16x＋3； ∴，； （2）①当0＜x≤1时，