第二十一章 专题特训一 根的判别式及根与系数的关系-2022-2023学年九年级上册数学【拔尖特训】人教版

∵ m≤5且m≠5, ∴ m=2. 14. (1) 依题意,可知Δ≥0,即4(m+ 1)2-4(m2+3)≥0,解得m≥1. (2) 依题意,可知x1+x2=2(m+1), x1x2=m2+3. ∵ m≥1, ∴ x1+x2>0,x1x2>0. ∴ x1>0,x2>0. ∵ x21+x22=|x1|+|x2|+x1x2, ∴ (x1+x2)2=x1+x2+3x1x2. ∴ 4(m+1)2=2(m+1)+3(m2+ 3),解得m=1或m=-7. 又∵ m≥1, ∴ m 的值为1. 15. -109 [解析]∵ α,β 是方程 x2+3x-1=0 的 两 个 实 数 根, ∴ α2+3α-1=0,β2+3β-1=0,α+ β=-3.∴ α2=-3α+1,β2=-3β+ 1.∴ α3=-3α2+α=-3(-3α+ 1)+α=9α-3+α=10α-3.∴ 3α3- 10β2=3(10α-3)-10(-3β+1)= 30α-9+30β-10=30(α+β)- 19=-109. 16. (1) 解2(x-k)=x-4,得x= 2k-4. ∵ 2(x-k)=x-4的解为非正数, ∴ 2k-4≤0,解得k≤2. 由方程②,可知k≠1, ∴ k≤2且k≠1. (2) ∵ k-m=2,2k-n=6, ∴ k=m+2,n=2k-6=2m+4- 6=2m-2. ∴ 把k=m+2,n=2m-2代入方 程②,得(m+1)x2+2mx+m-1= 0,解得x1=- m-1 m+1 ,x2=-1. ∵ 方程②的解为负整数,-m-1m+1= 2 m+1-1 , ∴ m+1=-1或-2,解得m=-2 或-3. (3) 成立. 理由:由(1),知k≤2且k≠1. ∵ k是正整数, ∴ k=2. ∵ (k-1)x2+2mx+(3-k)+n=0 有两个实数根x1,x2, ∴ x1+x2=- 2m k-1=-2m ,x1x2= 3-k+n k-1 =1+n. ∵ (x1+x2)(x1-x2)+2m(x1- x2+m)=n+5, ∴ 2m2=n+5③. 由方程②,知Δ=(2m)2-4(k-1)· [(3-k)+n]=4m2-4(n+1)≥0④. 把③代入④,得4m2-4(2m2-4)≥ 0,即m2≤4,则|m|≤2. 专题特训一　根的判别式 及根与系数的关系 1. D 2. A [解析]Δ=[-(k-3)]2- 4(-k+1)=k2-6k+9+4k-4= k2-2k+5=(k-1)2+4,∵ (k-1)2≥ 0,∴ (k-1)2+4>0,即Δ>0.∴ 方 程有两个不等的实数根.故选A. 3. C [解析]根据题意,得k(x2+ 1)+(5-2k)x=0,整理,得kx2+ (5-2k)x+k=0.∵ 方程有两个实 数根,∴ k≠0且Δ=(5-2k)2- 4k2≥0,解得k≤54 且k≠0.故选C. 4. 9 4 [解析]∵ 一元二次方程x2+ 3x+c=0有两个相等的实数根, ∴ Δ=32-4c=0,解得c=94. 5. A [解析]由数轴,知m>0,n< 0,m+n<0,∴ mn<0.∴ Δ= (-mn)2-4(m+n)>0.∴ 方程有两 个不等的实数根.故选A. 6. D [解析]∵ 直线y=-x+m 不 经过第一象限,∴ m≤0.当m=0时, mx2+x+1=0是一元一次方程,有 一个根.当m<0时,mx2+x+1=0 是一元二次方程,∵ Δ=12-4m>0, ∴ 关于x 的方程mx2+x+1=0有 两个不等的实数根.故选D. 7. B [解析]∵ 关于x 的一元二次 方程ax2+bx+c=0的两个根分别 是1和-3,∴ -ba =1-3=-2. ∵ 关于x的方程ax2+bx+c+m=0 (m>0)有两个根,其中一个根是4,设 另一个根为x2,∴ 4+x2=- b a = -2.∴ x2=-6.故选B. 8. D [解析]∵ a,b 是方程x2- 3x-5=0的两根,∴ a2-3a-5=0, b2-3b-5=0,a+b=3.∴ a2-3a= 5,b2=3b+5.∴ 2a3-6a2+b2+ 7b+1=2a(a2-3a)+3b+5+7b+ 1=10a+10b+6=10(a+b)+6= 10×3+6=36.故选D. 9. B [解析]方法一:∵ 方程x2- 2 021x+1=0的两根分别为x1,x2, ∴ x1+x2=2 021,x21-2 021x1+ 1=0,x22-2 02