第07讲：圆锥曲线中的轨迹问题-冲刺2023年高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第七讲：轨迹方程 【学习目标】 基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单定义，及简单的几何性质； 应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的几何性质，并能够熟练利用直译法和相关点法求解轨迹方程； 拓展目标：能够熟练应用椭圆，双曲线，抛物线的定义，并数形结合找到动点的轨迹形式，通过定义求解动点的轨迹方程. 素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养. 【基础知识】 1、曲线方程的定义 一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系： ①曲线上的点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围． 上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围． 3、求轨迹方程的方法： （1）直译法： 如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 （2）相关点法： 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 （1）定义法： 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 【考点剖析】 考点一：直译法 例1．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于；求动点的轨迹方程，并注明的范围； 变式训练1：已知，，动点满足与的斜率之积为，记的轨迹为曲线；求点的轨迹方程； 变式训练2：在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于． (1)求动点的轨迹方程； 变式训练3：在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积为；求点的轨迹方程； 例2．已知平面上动点到的距离比到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线；求曲线的方程． 变式训练1：已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线；求的方程； 变式训练2：已知点，平面上的动点到的距离是到直线的距离的倍，记点的轨迹为曲线；求曲线的方程； 变式训练3：在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足：以为直径的圆与轴相切，记动点的轨迹为曲线；求曲线的方程； 例3．在平面直角坐标系中，已知点，是一动点，直线，，的斜率分别为，，，且，记点的轨迹为；求的方程； 变式训练1：在平面直角坐标系中，已知点，是动点，且直线的斜率与直线的斜率之和等于直线的斜率；求动点的轨迹的方程； 变式训练2：设动点在直线和上的射影分别为点和，已知，其中为坐标原点；求动点的轨迹的方程； 变式训练3：在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线；求曲线的方程； 考点二：相关点法 例1．圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足；求点的轨迹方程； 变式训练1：圆的方程为：，为圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，点在上，且；求点的轨迹的方程； 变式训练2：已知圆：与轴交于点，过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，是的中点，记的轨迹为曲线；求曲线的方程； 变式训练3：圆上的动点在轴、轴上的射影分别是，点满足；求点的轨迹的方程； 例2．已知两直线方程与，点在上运动，点在上运动，且线段的长为定值；求线段的中点的轨迹方程； 变式训练1：如图，分别在轴､轴上运动，点满足点的轨迹为曲线；求曲线的方程； 变式训练2：已知点D为圆O：上一动点，过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为A、B，连接BA并延长至点P，使得，点P的轨迹记为曲线C；求曲线C的方程； 变式训练3：已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切，设点A为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线；求曲线的方程， 考点三：定义法 例1．已知平面内的两个定点，，，平面内的动点满足.记的轨迹为曲线；请建立适当的平面直角坐标系，求的方程； 变式训练1：动点满足；求点的轨迹并给出标准方程； 变式训练2：已知，曲线上任意一点满足；曲线上的点在轴的右边且到的距离与它到轴的距离的差为；求的方程； 变式训练3：已知两定点，点是平面内的动点，且,记的轨迹是；求曲线的方程； 例2．如图，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交半径于点；求点的轨迹的方程；