第06讲：圆锥曲线中的向量问题（三）-冲刺2023年高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第四讲：向量问题（二） 【学习目标】 基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算； 应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，垂直，直角，锐角和钝角的向量表示； 拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题（直角，锐角和钝角）. 素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养. 【基础知识】 解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：直径圆中，点与圆的位置关系，即在圆上时，对应的角度为直角，在圆内，对应的角度为钝角，在圆外，对应的角度为锐角，并用向量进行表示，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。 1、在圆上 直径所对圆周角为直角，向量的数量积等于零，即当为直角时，则； 2、在圆内 直径所对圆周角为钝角，即向量的数量积小于零；当为钝角时，则； 3、在圆外 直径所对圆周角为锐角，即向量的数量积大于零；当为锐角时，则； 【考点剖析】 考点一：直径圆过定点（已知定点） 例1．已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)已知定点，若直线与椭圆交于两点，问：是否存在的值，使以为直径的圆过点？请说明理由. 变式训练1：已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为， (1)求椭圆的方程； (2)设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点，求证：以为直径的圆过定点． 变式训练2：椭圆的离心率为，设为坐标原点，为椭圆的左顶点，动直线过线段的中点，且与椭圆相交于、两点．已知当直线的倾斜角为时，． (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在定直线，使得直线、分别与相交于、两点，且点总在以线段为直径的圆上，若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由． 变式训练3：已知椭圆与双曲线有公共焦点，且右顶点为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线：与椭圆交于不同的，两点（，不是左右顶点），若以为直径的圆经过点．求证：直线过定点，并求出定点． 考点二：直径圆过定点（求定点） 例1．设椭圆的离心率为，点为椭圆上一点，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问：轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 变式训练1：已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 变式训练2：如图，椭圆：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且△的周长为8. (1)求椭圆的方程； (2)设动直线：与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，试探究：在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 变式训练3：已知，直线过且与交于两点，过点作直线的平行线交于点． (1)求证：为定值，并求点的轨迹的方程； (2)设动直线与相切于点，且与直线交于点，在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 考点三：直径圆过定点（求圆的方程） 例1．已知定点，动点与连线的斜率之积. (1)设动点的轨迹为，求的方程； (2)若是上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由. 变式训练1：如图所示，椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于点，已知椭圆的离心率为，△的周长为8． (1)求椭圆的方程； (2)设点的坐标为． ①当，，成等差数列时，求点的坐标； ②若直线、分别与直线交于点、，以为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由． 【答案】(1)；(2)①或；②过定点、，理由见解析. 变式训练2：已知椭圆过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线，与直线和椭圆分别交于两点，（与不重合）.判断以为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由. 考点四：点在圆内或圆外 例1．已知椭圆，离心率为，椭圆上任一点满足 (1)求椭圆的方程； (2)若动直线与椭圆相交于、两点，若坐标原点总在以为直径的圆外时，求的取值范围. 变式训练1：已知椭圆，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为的正方形，斜率为的直线经过点，与椭圆交于不同两点、. (1)求椭圆的标准方程； (2)当椭圆的