第05讲：圆锥曲线中的向量问题（二）-冲刺2023年高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第四讲：向量问题（二） 【学习目标】 基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算； 应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，垂直，直角，锐角和钝角的向量表示； 拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题（直角，锐角和钝角）. 素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养. 【基础知识】 解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：垂直，直角，锐角和钝角的向量表示，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。 1、垂直 当直线时，利用向量进行数量积的翻译，即,（用斜率翻译时，要注意斜率不存在的情况） 2、向量模长 当时，通过平方推导，转化为，即翻译成垂直. 3、定角 求解角度的大小时，通过向量的夹角公式进行翻译， 向量的数量积，即. 4、直角，锐角和钝角 当为直角时，则； 当为锐角时，则； 当为钝角时，则； 【考点剖析】 考点一：已知垂直求参 例1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交于、两点，且求直线的方程. 变式训练1：已知椭圆标准方程为，椭圆的左右焦坐标分别为，离心率为，过点直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 变式训练2：在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程. 变式训练3：已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）． （1）求抛物线的方程； （2）直线：与抛物线交于，两点，若，求直线的方程． 考点二：垂直（证明） 例1．已知抛物线的焦点与椭圆：的一个焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)若直线：交抛物线C于，两点，O为原点，求证：． 变式训练1：已知椭圆：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：. 变式训练2：已知抛物线：经过点. （1）求抛物线的方程及其准线方程； （2）设过点的直线与抛物线交于，两点，若，轴.垂足为，求证：. 变式训练3：已知抛物线：，斜率为1的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）设点，过点作直线，与抛物线相切，切点分别为，，证明：. 考点三：向量模长相等（垂直） 例1．设椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设的右顶点为，若直线与椭圆交于两点（不是左右顶点）且满足，求原点到直线距离的最大值. 变式训练1：设椭圆过两点，O为坐标原点 (1)求椭圆E的方程; (2)设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点(A，B不是左右顶点)且满足，证明:直线l过定点，并求该定点坐标. 变式训练2：已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)若直线过，且与交于两点（异于的两个顶点），直线与直线的交点分别为．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式训练3：已知椭圆：，焦点为､，过轴上的一点（）作直线交椭圆于两点. (1)若点在椭圆内， ①求多边形的周长； ②求的最小值的表达式； (2)是否存在与轴不重合的直线，使得成立？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由. 考点四：定角（直角） 例1．已知椭圆的短轴的两个端点分别为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值. 变式训练1：已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，直线分别与直线交于点，求的大小． 变式训练2：已知椭圆经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与圆相切，求的大小（为坐标原点）. 变式训练:3：设分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆的上顶点，是等边三角形，短轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）已知分别为椭圆左右顶点，位于轴两侧的分别是椭圆和圆上的两个动点，且直线与轴平行，直线分别与轴交于，证明：. 考点五：锐角和钝角 例1．已知点在椭圆上，的离心率为． （1）求的方程； （2）设过定点的直线与交于不同的两点，且为锐角，求的斜率的取值范围． 变式训练1：已知椭圆的长轴长为，短轴