03 高考函数与导数的综合运用命题动向分析（知识篇）-《中学生数理化》高考数学2022年9月刊

中学生数理化 知识篇科学备考新指向 高考数学2022年9月 下高考函数与导数的综合 运用命题动向分折 ■广东省佛山市顺德区容山中学 潘敬贞 函数与导数的综合运用是高中数学的核 积为s,因为s≠0，所以所求根之中一定不含 心内容，也是每年高考考查的重点内容。函 0,此时对任意s能够找到两个x。满足条件。 数与导数的综合运用问题（切线问题、零点问 所以过点P且与曲线y=f(x)相切的直线 题、单调性问题、恒成立问题、最值问题、不等 有2条。故选C。 式问题)都是以导数为工具研究函数的性质， 评注：本题主要利用双“k”法建立方程，即 从而解决问题。这类问题的最大特点就是综 利用导数的几何意义和斜率的公式求切线的 合性强，经常是导数与函数性质的融合或多 斜率，然后将问题转化为方程x。一(s十2)· 个函数概念和性质的交织融合，这些问题可 x品十s=0的解的个数问题，x。值的个数即为 以很好地考查同学们的数学素养、理性思维 切点的个数，从而确定几条切线。 及科学精神。本文结合实例，对近年来高考 例2若过点(m,n)可以作曲线y= 中函数与导数的综合运用问题的命题动向进 a(a>0且a≠1)的两条切线，则()。 行分析，目的是帮助同学们把握好高考动向， A.log。n<m 从而提高复习备考的针对性和有效性。 B.log。n>m 一、导数的几何意义 C.log。n=m 1.利用导数的几何意义解决切线问题 D.log。n与m的大小关系与a有关 例1已知曲线f(x)=e及点 解析：设切点为(xo,a),则y'=a· lna,所以切线方程为y一a=alna· P(s,0)(s≠0)，则过点P且与曲线y=f(x) (x一x。)。因为点(m,n)在切线上，所以n 相切的直线有()。 a=alna(m-xo),即a(lna·x。 A.0条B.1条C.2条D.3条 lna·m-1)+n=0。令g(x)=a(lna·x 解析：因为了(x)-兰，所以'(x) -lna·m-1)+n,则g'(x)=alna· e*(x-1 ,设切点为(x,)则f(x)在点 (lna·x-lna·m)。令g'(x)=0,得 x=m。当x<m时，g'(x)<0,当x>0时， e"(.x。-1) g'(x)>0,所以当x=m时，g(x)取得极小 处的导数为 。 根据导数 值g(m)=一am十n,因为过点(m,n)可以作 的几何意义及导数的比值定义式有 曲线y=a'(a>0且a≠1)的两条切线，所以 k=e(c。-1) 一am十n<0,即n<am,所以log.n与n的 o 大小关系与a有关。故选D。 e"-0 整理得c。(.x。一1)(.x。一s) 评注：本题首先利用导数的几何意义求 得切线的斜率，进而求得切线方程为y一a k= =alna(x一xo),再由，点(m,n)在切线上得 =e··x。,所以(x。一1)(x。一s)=xo,化简 方程a(lna·x。-lna·m-1)十n=0,因 得x?一(s+2)xo+s=0,其是关于x。的二次 为过，点(m,n)可以作曲线y=a'(a>0且 方程，△=(s十2)2一4s=s2十4>0，且两根之 a卡1)的两条切线，所以此时将问题转化为函 8 6 知识篇科学备考新指向中学生数理化 高考数学2022年9月 数g(x)=a(lna·x-lna·m一1)+n有 何意义即可求得所求切线方程 两个零，点，所以g(x)的极小值小于0，从而 二、利用导数研究函数的单调性 得到na” 1.比较函数值的大小 2.导数的几何意义与函数性质的融合 例5已知0<a<b<1,e为自然对数 例3(2022年江西高三期末（理）改 的底数，则下列不等式不成立的是( )。 编)已知函数f(x)=e十ae·为偶函数，则 A.ae<be B.ae<be 曲线y=f(x)在点(1n3,f(ln3))处的切线 C.aln a>bIn b D.a"<b 方程为」 解析：对于A,令f(x)=xe,x∈(0， 解析：因为f(x)=e十aer为偶函数， 1),则f'(x)=(x+1)e>0,x∈(0,1)， 所以f(-x)=f(x),即er+ae'=e+ 所以函数f(x)在(0,1)上递增，所以f(a)< ae,解得a=1,则f(x)=e十e',f'(x) f(b),即ae4be",所以A成立： =e-er,所以f(ln3)=eh3+en8=3十 1=10 3=3,故f(x)在点(1n3,f(n3)处的切 对于B.令h)=三x∈(0,1，则 h'(.x)=(x1)e <0,x∈(0,1)，所以函数 线的斜率k=f'(n3)=e-eh5=3-号 h(x)在(0,1)上递减，所以h(a)>h(b),即 3,所以曲线y=f(x)在点(In3,f(ln3)处 名>号，所以u心<c所以B成立： 的