08 导数及其应用解题误区扫描（解题篇）-《中学生数理化》高考数学2022年9月刊

中学生数理化 解题篇易错题归类剖析 高考数学2022年9月 导数及其应用解题吴区扫猫 ■广东省惠州仲恺中学黄国春 李林 导数及其应用是各类命题的热点和重 3x6)(2-x)。又y0=3x。-x8,故-2 点，由于不少同学对概念的理解不够准确或 (3.x。一x8)=(3-x)(2-x0),整理得x8一 受到某些知识或方法的负迁移，在学习中常 3x+4=0,即(x。+1)(x。-2)2=0,解得 常存在一些误区，从而出现一些错误，本文对 x。=一1或x。=2。当x。=一1时，切点为 有关易错点进行归纳剖析，供大家参考。 (一1，一2)，切线方程为y=一2；当x。=2 一、对f'(x。)与f'(x)的理解不够透彻 时，切点为(2，一2)，切线方程为9x+y一16 致误 =0。故所求切线方程为y=一2或9.x十y 例1已知函数f(x)=x2+2x· 16=0。 f'(1),则f'(0)的值为()。 三、将“函数在区间D上是单调函数”与 A.0 B.-4C.-2 D.2 “函数的单调区间是D”混淆致误 错解：由f(x)=x+2xf'(1),可得 例3若函数f(x)=x3一m.x2+4的 f(0)=0,所以'(0)=0。故选A。 减区间为(0,2)，则实数m的取值范围为 剖析：错解没有弄清导函数和其在某点 处的导数的关系，求函数在某点处的导数时， 错解：因为函数∫(x)=x3一mx2十4的 应先求导再求函数值，同时要注意f'(1)是 减区间为(0,2)，所以导函数f'(x)=3x2 个常数。 2m.x0对任意的x∈(0,2)恒成立，即n≥ 正解：由f(x)=x2+2xf'(1),可得 3 f'(x)=2.x+2f'(1)。所以f'(1)=2×1+ x对任意的x∈(0,2)恒成立，故m≥3。 2f'(1),所以f′(1)=-2，从而f'(x)=2x 剖析：“函数的增（减）区间是D”说明函 一4，所以f‘(0)=一4。故选B。 数的增（减）区间恰好是D,而“函数在区间D 二、将“过某点的切线”与“在某点的切 上是增（减）函数”中的区间D不一定恰好是 线”混淆致误 函数的增（减）区间，也可以是其增（减）区间 的子区间。 例2已知曲线S:y=3x-x3,求过 正解：由题意知f'(x)=3x2一21.x,因 点P(2,一2)的切线方程。 为函数f(x)=x3一mx2十4的减区间是(0， 错解：由题意可知点P(2,一2)在曲线S 2),所以0,2是f'(x)=3x2-2mx=0的两 上，且y'=3一3x2,则过点P的切线斜率k= y'|,-2=一9，所以过点P的切线方程为y十 根，解得m=3,此时f'(x)=3x2一6x= 3x(.x-2),由f'(x)<0得0<x<2,故(0， 2=-9(x-2),即9x+y-16=0。 2)是函数f(.x)=x3一mx2+4的减区间。所 剖析：错解将求过点P的切线方程误认 以m=3。 为求曲线在点P处的切线方程。在此题中， 点P凑巧在曲线S上，求过点P的切线方 四、忽视了函数的变化趋势致误 程，却没说切点一定是点P。 例4已知方程0=a有两个实数 正解：设切点为Q(x。yo),则过点P的 解，则实数a的取值范围为 曲线S的切线斜率k=y'|,-。=3一3x6,所 错解：原题可转化为两个函数f(x)一 以切线方程为y一y。=(3-3x)(x一xo)。 因为过点P(2,一2)，所以一2-y。=(2一 ln与y=a的交点问题，因为'(x)= x 22 20 解题箱、易错题归类制析中学生数理化 高考数学2022年9月 1=mx，令f’(x)=0，得x=e。又f(x)的定减)函数的充分不必要条件，也就是说函数在 某区间可导且单调，也可能存在x=x_。使得 义域是(0，+∞)，故当x∈(0，e)时，f(x)>（x)=0，错解就是忽略了这点而致误。 0，f(x)在(0，e)上单调递增；当x∈(e，+∞)正解：求导得f′(x)=2x^2-4x+a，则 时，f′(x)≤0，f(x)在(e，+∞)上单调递减。函数f(x)在区间[―1，4]上具有单调性等价 所以f(x)在x=e处取得极大值也是最大值于f(x)≤0或f(x)≥0在x∈[-1，4]上 f(e)=-，所以当函数f(x)=n^x与y=a恒成立。则a≤(-2x^2+4x)或a≥(-2x +4x)_m，即a≤-16或a≥-2。 有两个交点即方程”“=0有两个实数解时，六，忽视了极值存在的充要条件致误 例6（2022届山西长治高三月考)已 实数a的取值范围为(-∞，=)。 知函数f(x)=x^3-3m.x^2+nx+m^2在x= 剖析：错解忽视了函数的具体走势，虽然-1处取得极值0，则m+n=() 函数f(x)先增后减，但是当x→+∞时，函A.2B.7C.2或7D.3或9 数的值