07 函数及其应用易错点扫描（解题篇）-《中学生数理化》高考数学2022年9月刊

中学生数理化 解题篇易错题归类剖析 高考数学2022年9月 鱼微及其应用帚错点扫箍 ■河北省石家庄市第六中学 郑延辉 函数是高中数学的核心内容，常常涉及 mx2十2m.x十4>0的解集为R,所以满足 函数的定义域、值域及性质等问题，同时也应 1m>0, 解得0<m<4。 用到高中数学的很多数学思想和方法。本文 △=4m2-16m<0, 对函数学习中同学们容易出现错误的地方进 剖析：本题错误的原因是：考虑问题不全 行了扫描和分析，有助于大家跳出误区，优化 面，在解二项型不等式时，忽视了最高项的系 思维，也有助于对数学其他模块的学习。 数为0的情况。 易错点一、忽视抽象函数的定义域致误 正解：因为函数f(x)的定义域为R,即 例1已知f(x)是定义在(-2,2)上 不等式mx2十2n.x+4>0的解集为R。 的单调递减函数，且满足f(2a一3)<f(a 讨论如下： 2),则实数a的取值范围为( )。 (1)当m=0时，得到4>0，显然不等式 A.(0,4) B.(1,+oo) 的解集为R; c(层) D.(1,8) (2)当m<0时，二次函数y=mx2+十 2m.x+4的图像开口向下，函数值y不恒大 错解：因为函数f(x)是单调递减函数， 于0，故解集为R不可能； 且f(2a-3)<f(a-2),所以2a-3>a-2, (3)当m>0时，二次函数y=mx2十2m.x 解得a>1。 十4的图像开口向上，因不等式的解集为R,故 剖析：本题错误的原因是：在解不等式时 二次函数与x轴没有交点，即△=4n2一16m 忽略了函数的定义域，想当然以为函数的定 <0,即m(m-4)<0,解得0<m<4。 义域为R,所以在解函数问题时务必要关注 综上所述，a的取值范围为[0,4)。故答 函数的定义域。 案为B。 正解：因为函数f(x)是定义在（一2,2） 易错点三、忽视对数函数的定义域致误 上的单凋递减函数，且满足f(2a一3)<f(a 例3函数f(x)=log.2(x2-2x)的 2a-3>a-2, 单调递减区间为()。 一2)，所以 6 -2<a-2<2,解得1<a<2。 A.(-o∞，1] B.[1,+c∞) 22a-32, C.(0,1] D.[1,2) 故答案为D。 错解：令u(x)=x2一2x,求导可知u(x) 易错点二、忽略二项型式子中最高项的 的单调递增区间为[1，+∞)，又0.2<1，故 系数为0致误 函数f(x)的单调递减区间为[1，十∞)。 例2 已知函数f(x) 剖析：本题错误的原因是：忽视对数函数 x-1 的真数大于0这一约束条件。观察题中所给 的定义域为R,则实数m的 /.x2+2m.x+4 函数，这是一个复合函数，所以需要先求出它 取值范围为( )。 的定义域，再根据复合函数的单调性规律（同 A.(0,4) B.[0,4) 增异减)进行求解。 C.[0,4] D.(-©∞，0]U(4,+o∞) 正解：函数f(x)=log.2(x2一2x)的定 错解：因为函数的定义域为R,即不等式 义域是(0,2)，函数u(x)=x2一2x的单调递 20 18 解题篇易错题归类剖析 高考数学2022年9月 中学生数理化 增区间为[1，十∞)，因为0.2一1，所以函数 (a一2)x-1,x1, 若函数f(x)在（一∞， f(x)的单调递减区间为[1,2)。故答案为D。 log。x,x>1, 易错点四、混淆“定义域为R”与“值域为 +∞)上单调递增，则实数a的取值范围为 R”致误 )。 例4若函数f(x)=1g(x2-2x+a) A.(0,1) B.(2,3] C.(1,2) D.(2,+∞) 的值域为R,则a的取值范围为 错解：因为函数f(x)=lg(x2一2x十a) 错解：由题意可知，函数y=(a一2)x一1 在(-∞，1]上为增函数，则a一2>0，解得 的值域为R,所以方程x2一2x十a=0的判别 式△=(-2)2-4a<0,解得a>1,所以a的 a>2。因为函数y=log。x在(1，+∞)上为 取值范围为(1，十∞)。 增函数，所以a>1。所以a>2。 剖析：本题错误的原因是：分段函数在R 剖析：本题错误的原因是：把f(x)= lg(.x2一2x+a)的值域为R误认为其定义域 上单调递增，不仅每一段都要是递增的，而且 在分段点处也要是递增的。 为R。实际上当函数f(x)=lg(x2一2x十a) 正解：由题意可知，函数y=(a一2)x一1 的值域为R时，x2一2x十a能取到所有正 数，而函数f(x)=lg(x2一2x十a)的值域为 在（一∞，1]上为增函数，所以a一2>0，解得 R,则x2一2x+a恒为正数。 a>2。因为函数y=log。x在(1，十∞)上为 正解：因为f(x)=lg(x2一2x+a)的值 增函数，则a>1,且有a一