06 巧借导数法,秒破不等式（解题篇）-《中学生数理化》高考数学2022年9月刊

解题篇创新题追根溯源中学生数理化 高考数学2022年9月」 巧借号数法。种政不等虱 ■江苏省黄埭中学徐仁杰 导数作为一种数学工具，对于解决一些 相关的数学问题有奇效，也是破解一些数学 <f(受-x）小：即证明f(x)<f(受-x)小： 问题的一大“奇兵”。特别地，利用导数法可 利用作差法构建函数，通过导数法研究函数 以很好地解决涉及不等式证明、不等式恒成 的单调性，进而得以证明不等式成立。 立及不等式能成立等问题，这是导数法的一 解：1)求导得f'(x)=cosx一sinx e 种创新性应用与技巧。本文结合实例，就利 用导数法解决一些相关的不等式问题，细心 0<x<r,由f'(x)=0得x=天。 4 深入研究探索，掌握方法规律，合理化归与转 化，最终“拨得云开见日出”。 当0<x<平时，f'(x)>0:当牙<x<x 4 一、巧妙借助导数法证明不等式 时，f'(x)<0。 份1已知函数fx)=0x∈0， 所以函数f()在(o,买）上单调递增，在 π）。 (1)判断函数f(x)的单调性； (牙)上单调递减。 (2)若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明： (2)因为x1≠x2,且f(x1)=f(x2),由 +>受 (1)不妨设0<x<至<x:<,要证：十 分析：(1)通过求导，确定导函数的零点， 利用导数的正负取值情况判断函数的单调性 x>2,只需证明x,>受 2 -x1 即可：(2)由1不妨设0<x1<开<<π， 而至<受-x<受fx)在（开，）上单 利用分析法只需证明x:>受一x,根据函数 调递减，故只需证明f(x)<f(乏-x)。 的单调性进气光加必转化：需明心又因为所以是男 又因为f(x1)一f(x),所以只需证明 故选择答案：B。 或不等式的形式，合理构造与之相吻合的恰当 ,点评：利用含有导函数的代数关系式中的函数（除了以上两个最常见的“加”“减”型结构 “减”型结构，构造与题目条件相对应的函数关中的不同形式，还可以进一步加以拓展与延 系式，通过求导运算使得导函数的分子中出现伸)，回归问题本质，利用函数求导及其代数运 题中对应的含有导函数的代数关系式，利用不算与变形，借助导数思维，抓住用导数判断函 等式的性质及变量的取值情况得以判断导函，数的单调性来处理一些对应函数的单调性、极 数的正负取值情况，进而利用函数的单调性来值或最值等问题，进而合理化归与转化问题， 解决相关问题。“减”型结构所构造的函数为解决相应的数学问题，全面提升导数的综合应 分式函数类型，经常结合不等式的性质加以变用，提高数学能力，培养数学核心素养。 形与转化。 (责任编辑王福华) 其实，根据题目条件中的不同代数关系式 17 15 中学生款理化解雾数学创新马鼻授骨源 fx)<f(5-) 函数的导数，结合导函数的符号，求解函数的 单调区间，从而判断函数的单调性。(2)化简 令函数g(x)=f(x)-f(受-x) g(x)的表达式，求出函数的导数，通过当a≤ 0和a>0时，判断导函数的符号，推出函数 sin x sin(-x sin x cos x 的单调区间。当4a一2≥0时，说明g(x)m e ,x∈ e e =g(0)=0,推出结果；当4a-2<0时，说明 g(x)≥0在[0，十∞)上不可能恒成立，即可 (0,买），求导得g'(x)=osc二sim上+ 推出结果。 sinx一cOsx 解：(1)函数f(x)的定义域为（一∞， =(cosx-sinx）· +∞)，f'(x)=2(x-1)e。 由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得 传）-os-n… x<1,所以f(x)在（一∞，1）上单调递减，在 (1,十∞)上单调递增。 当0<x<平时，cosx-sinx>0, π (2)由题意可得g(x)=(2x-4)e+ a(x2+4x)+4,则g'(x)=(2x-2)e"+ x>x,故g'(x)>0,所以g(x)在(0，)上 2a(x+2)。 若a≤0，因为当x∈(0,1)时，g'(x)< 单调递增，故在(0，)上，g(x)<g()- 0,所以g(x)在(0,1)上单调递减，又g(0) 0,故g(x)≥0在[0，十∞)上不可能恒成立。 f(不)-f(T)=0,所以f(x)< 若a>0,令h(x)=g'(x)=(2x-2)e f(受-x)成立，故x十x>受成立。 +2a(x+2),则h'(x)=2.xe+2a,所以 h'(x)>0,所以h(x)在[0，十∞)上单调递 点评：利用导数法证明不等式成立问题 增，则g'(x)≥g'(0)=4a一2。 的基本技巧与方法主要有以下几种：(1)利用 1 单调性：若f(x)在[a,b]上是增函数，则Vx 当4a-2≥0，即a≥2时，g（x)在[0， ∈[a,b],有f(a)≤f(x)≤f(b);Hx1,xg 十o∞)