05 借助“加”“减”型结构,构造函数妙解题（解题篇）-《中学生数理化》高考数学2022年9月刊

解题篇创新题追根溯源中学生数理化 高考数学2022年9月 借办“加”“减”型猪构： 驷造 ■江苏省镇江市实验高级中学孙 莉 近年来，随着新高考改革的不断推进，使 的奇偶性来解决问题。 用全国卷的省份越来越多，我们不难发现，一 解：构造函数F(x)=xf(x),求导得 些选择题或填空题中以函数的导数为工具， F‘(x)=f(x)+xf'(x)。 利用函数的单调性求解不等式、比较大小或 当x<0时，f(x)十xf'(x)<0,可以推 求解取值范围的压轴题已经成为各地模拟题 出当x一0时，F'(x)<O,所以函数F(x)在 的热点之一。此类题目需要考生有敏锐的数 (∞，0)上单调递减。 学观察能力和熟练的代数变形能力，成为考 由于函数f(x)为偶函数，则知F(x)= 生学习和考试的难点。下面结合两个最常见 xf(x)为奇函数，可得F(x)在(0，+∞)上也 的“加”“减”型结构及对应不同类型情况下构 单调递减。 造函数的技巧策略加以剖析。 由f(-4)=0,可得F(一4)=0，根据函 一、涉及已知条件为f(x)十f'(x)的 数的单调性、奇偶性得函数图像（图略），根据 “加”型结构 图像可知xf(x)>0的解集为（一∞，一4）U 根据题目条件中有关∫(x)+f'(x)的 (0,4)。 “加”型结构的不同形式构造不同类型的积式 故填答案：（一∞，一4）U(0,4)。 函数解析式来解题： 例2设函数f(x)是定义在（一∞，0） ①若f'(x)十g'(x)≥0，构造函数F(x) 上的可导函数，其导函数为f′(x),且有 =f(x)十g(x),则有F(x)=f'(x)十g'(x). 2f(x)+xf(x)>x2,则不等式(x十 ②若f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)≥ 2022)2f(x+2022)一4f(-2)>0的解集 0,构造函数F(x)=f(x)·g(x),则有 为 F'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)。 分析：根据题目条件，利用含有导函数的 ③若f(x)十f'(x)≥0，构造函数F(x) 代数关系式“2f(x)+xf'(x)”中的“加”型结 =ef(x),则有F'(x)=e[f(x)十f'(x)]. 构，构建与之相对应的函数F(x)=x2f(x), ④若f(x)十xf'(x)≥0，构造函数 通过求导转化，并利用函数的单调性来求解 F(x)=xf(x),则有F'(x)= 相应的不等式问题。 f(x)+xf'(x)。 解：由2f(x)十xf'(x)>x2,x<0,可得 ⑤若xf'(x)十nf(x)≥0，构造函数 2xf(x)+x2·f'(x)<x3,即[x2f(x)]'< F(x)=x”·f(x),则有F'(x)=nx”-1f(x)十 x30。 x"·f'(x)=x"1·[nf(x)+xf'(x)]。 构建函数F(x)=x2f(x),则当x<0 例1设函数f(x)是定义在R上的 时，F'(x)<0,即F(x)在（一∞，0）上是减函 偶函数，当x<0时，f(x)十xf'(x)<0,且 数。 f(一4)=0，则不等式xf(x)>0的解集为 因为F(x+2022)=(2022+x)2f(x+ 2022),F(-2)=4f(-2),所以F(2022+ 分析：根据题目条件，利用含有导函数的 x)-F(-2)>0,即F(2022+x)>F(-2)。 代数关系式“f(x)十xf'(x)”中的“加”型结 又因为F(x)在（一∞，0）上是减函数，所 构，构建与之相对应的函数F(x)=x∫(x), 以2022+x<-2,即x<-2024。 通过求导转化，并利用函数的单调性及函数 故填答案：(-∞，-2024)。 15 13 中学生数理化想题随制断据道树需速高考数学2022年9月 点评：利用含有导函数的代数关系式中f(x)，且f(x+2)为偶函数，f(4)=1，则不 的“加”型结构，构造与题目条件相对应的函等式f(x)≤e^’的解集为() 数关系式，通过求导就出现题中对应的含有A.(-2，+∞）B.(0，+∞) 导函数的代数关系式，从而得以判断导函数C.(1，+∞）D.(4，+∞) 的正负取值情况，为进一步确定函数的单调分析：根据题目条件，利用含有导函数的 性及其相关的应用奠定基础。”加”型结构所代数关系式“f(x)一f(x)”中的“减”型结 构造的函数为积式函数类型，注意各种不同构，构建与之相对应的函数g(x)=，通 的“加”型结构，涉及系数与变量的乘积等不 同形式。过求导转化，并利用函数的单调性，结合函数 二，涉及已知条件为f(x)-f′(x)的的奇偶性，对称性。以及不等式的性质来解决 “减”型结构相应的不等式问题。 根据题目条件中有关f(x)-f′(x)的 解：根据已知条件和结论可构造函数 “减”型结构的不同形式构造不同类