04 集合新定义,创新妙应用（解题篇）-《中学生数理化》高考数学2022年9月刊

解题篇创新题追根溯源中学生数理化 高考数学2022年9月 集合新定义，创新妙应用 ■江苏省江浦高级中学 经中进 新定义问题可以很好地考查同学们的阅 二、定义新运算 读理解能力、创新应用能力、知识迁移能力与 例2已知集合A={x∈N|一1≤x≤ 终生学习能力，也是历年高考试卷中的一大 3},B={1,3},定义集合A,B之间的运算 亮点。集合问题经常以定义新概念、新运算、 “*”,A*B={x|x=x1十x2,x1∈A,x2∈ 新性质、新背景等形式，结合集合的关系、运 B},则A*B中的所有元素之和为()。 算及其他相关知识来综合考查，体现数学知 A.15B.16C.20D.21 识、思想方法和能力的交汇与综合。解决集 分析：根据定义的新运算，先确定集合A 合中的新定义问题，关键是准确理解新定义 中的元素，结合新运算利用不同元素的取值 的实质，紧扣新定义进行推理论证或代数运 情况加以分类讨论，进而确定新运算所对应 算，把陌生的问题转化为我们熟知的问题来 集合的元素情况，再做求和处理即可。 分析与处理。 解：由题意知，A={0,1,2,3},B={1, 一、定义新概念 3},A*B={x|x=x1十x2,x1∈A,x2∈B}。 例1已知集合A={1,2,3,4,5},定 故当x1=0时，x2=1,3,此时x=1,3; 义新概念—“拓展集”B={(x,y)|x∈A, 当x1=1时，x2=1,3,此时x=2,4; y∈A,x一y∈A},则“拓展集”B中所含元素 当x1=2时，x2=1,3,此时x=3,5: 的个数为( ）。 当x1=3时，x2=1,3,此时x=4,6。 A.3B.6C.8D.10 由集合元素的互异性可知A*B={1, 分析：根据定义的新概念一“拓展集”， 2,3,4,5,6},所以所有元素之和为1+2+ 结合集合A中元素的特征确定参数x,y的 3+4+5+6=21。 大小关系，根据列举法分别确定不同参数y ,点评：解决集合中的新运算问题，关键是 的取值情况下x的取值情况，进而确定满足 抓住新运算下集合的运算规则，再结合创新 条件“拓展集”的实数对(x,y)的个数，即为 运算规则，合理推理论证，进行正确代数运 所求集合的元素个数。 算，从而达到解决问题的目的。 解：因为A={1,2,3,4,5},所以A中的 三、定义新性质 元素都为正数。 例3定义满足“如果a∈A,b∈A,那 若x-y∈A,则有x-y>0,即x>y。 么a士b∈A,且ab∈A,号∈A(b≠0)”的集 当y=1时，x可取2,3,4,5，共有4个数； 当y=2时，x可取3,4,5，共有3个数； 合A为“闭集”。试问；数集N,Z,Q,R是否 当y=3时，x可取4,5，共有2个数； 分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是， 当y=4时，x可取5，共有1个数； 请举反例说明。 当y=5时，x不能取任何值。 分析：根据定义的新性质，利用“闭集”中 综上分析，满足条件“拓展集”的实数对 任意两元素之间的和，差，积，商仍为该集合 中的元素加以特殊值处理，举反例确定矛盾， (x,y)的个数为4+3十2+1=10。 推理论证说明理由。 点评：涉及集合中的定义新概念问题，关 解：①数集N,Z不是“闭集”。例如，3∈ 键是抓住新概念下集合的特征或对应元素的 属性，理解问题的实质，分析新概念的内涵 N,2∈N,而号=1.5￠N:3∈Z,-2∈Z,而 合理分析、推理、论证或运算，进而得以创新 3 圆满她破解问题。 2=一1.5￠Z,故N,Z不是闭集。 13 11 中学生数理化解琴学创新题鼻枫丽 ②数集Q,R是“闭集”。由于两个有理 a+b,a与b同为奇数或同为偶数， 数a与b的和，差，积，商，即a士b,ab,会 ab,a与b一个为奇数，一个为偶数.集合M (b≠0)仍是有理数，所以Q是闭集，同理R ={(a,b)|a￥b=36,a,b∈N*}。 也是闭集。 (1)用列举法表示当a与b一个为奇数， 例4如果集合A满足：若x∈A,则 一个为偶数时的集合M: (2)当a与b同为奇数或同为偶数时，求 一x∈A,那么就称集合A为“对称集合”。 集合M中元素的个数。 已知集合A={2.x,0,x2十x},且A是“对称 分析：根据定义的新背景，以创新背景来 集合”。若集合B是自然数集，则A∩B= 确定集合。(1)结合当a与b一个为奇数， 个为偶数时所对应的背景得到a×b=36,a, 分析：根据定义的新性质，抓住“对称集 b∈N,罗列确定集合M;(2)当a与b同为 合”的性质构建方程，通过方程的求解，并结 奇数或同为偶数时所对应的背景得到a十b 合参数值的分类讨论进一步验证创新性质， =36,a,b∈N*,罗列确定集合M。 进而来分析与处理问题。 解：(1)当a与b一个为奇数，一个为偶 解：由