专题2.4 等腰三角形中的综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（浙教版）

专题2.4 等腰三角形中的综合 【典例1】在ABC中，AB＝AC，AE是ABC的中线，G、H分别为射线BA、AC上一点，且满足∠GEH+∠BAC＝180°． (1)如图1，若∠CAE＝45°，且G、H分别在线段BA、AC上，求证：AEH≌BEG； (2)在（1）的条件下，AG＝3，求线段CH的长度； (3)如图2，延长AE至点D，使DE＝AE，过点E作EF⊥BD于点F，当点G在线段BA的延长线上，点H在线段AC的延长线上时，探求线段BF、CH、BG三者之间的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 （1）利用等腰三角形的性质和已知条件，先证∠BAC＝90°，，， 再结合∠GEH+∠BAC＝180°，证明∠GEH＝90°，进而证明∠AEH＝∠BEG，最后利用ASA即可证明AEH≌BEG； （2）利用（1）中结论，参照（1）中方法利用ASA即可证明CEH≌AEG，即可得出； （3）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，连接EJ．先利用AAS证明JEG≌CEH，推出，再证明BFE≌BIE，推出BF＝BI，即可得出． 【解题过程】 解：（1）证明：如图所示： ∵AB＝AC，AE是ABC的中线， ∴∠C＝∠B，AE⊥BC， 又∵∠CAE＝45°， ∴∠C＝∠CAE＝45°， ∴∠B＝∠C＝∠CAE＝∠BAE＝45°， ∴∠BAC＝90°，，， ∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠BAC＝90°， ∴∠GEH＝90°， ∴∠AEH+∠AEG＝∠AEG +∠BEG＝90°， ∴∠AEH＝∠BEG， 在AEH和BEG中， ， ∴AEH≌BEG； （2）由（1）知∠C＝∠BAE＝45°，，∠GEH＝90°，AE⊥BC， ∴∠AEC＝∠GEH＝90°， ∴∠AEH+∠CEH＝∠AEH +∠AEG＝90°， ∴∠CEH＝∠AEG， 在CEH和AEG中， ， ∴CEH≌AEG， ∴； （3）， 理由如下： 如图，作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，连接EJ． 则EI是线段BJ的垂直平分线， ∴， ∵E是BC的中点， ∴， ∴． ∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠GAH+∠BAC＝180°， ∴∠GEH＝∠GAH， 又∵∠GOA＝∠HOE， ∴∠JGE＝∠CHE， ∵，， ∴∠EJB＝∠ABC＝∠ACB， ∴∠EJG＝∠ECH， 在JEG和CEH中， ， ∴JEG≌CEH， ∴， ∵AE⊥BC，DE＝AE， ∴BD＝AB， ∴∠ABE＝∠DBE， ∵EI⊥AB，EF⊥BD， ∴∠BIE＝∠BFE＝90°， 又∵BE＝BE， ∴BFE≌BIE， ∴BF＝BI， ∴． 1．（2021·福建省永春崇贤中学九年级阶段练习）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且点E落在AB上，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA，BF，若，． (1)求证△ADF≌△BDF； (2)若，求DF的长． 【思路点拨】 （1）根据旋转的性质以及已知条件，证明是等边三角形，然后根据SSS证明△ADF≌△BDF； （2）由△ADF≌△BDF，得到∠ADF=∠BDF=30°，再证明∠DBF=90°，根据含30度角的直角三角形的性质，即可解决问题． 【解题过程】 （1）证明：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE， ∴， ，， 是等边三角形， ， 在与中， ， ∴△ADF≌△BDF（SSS）； （2）∵是等边三角形， ∴， ∵△ADF≌△BDF， ∴∠ADF=∠BDF=30°，， ∴DF⊥AB，∠DEB=∠C=90°， ∴∠BAC=30°， ∵， ， ∴， ∵，， ． 2．（2021·北京市陈经纶中学八年级期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一点，连接AP，延长BC至点Q，使得，过点作于点，交于点． (1)若∠CAP=20°，则= °． (2)判断AP与QM的数量关系，并证明． 【思路点拨】 （1）根据题意，得出∠CAB=45°，再根据角的关系，得出∠PAB=25°，再根据直角三角形两锐角互余，即可算出∠AMQ的度数； （2）连接AQ，首先推断出AP=AQ，再根据三线合一的性质，得出∠QAC =∠PAC，再根据三角形的外角和定理，得出∠QMA =∠MQB+45°，再根据角的关系，得出∠QAM =∠QAC+45°，再根据直角三角形两锐角互余，得出∠MQB =∠PAC，再根据等量代换，得出∠QMA =∠QAM，再根据等角对等边，得出QA=QM，再根据等量代换，即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°， ∴∠CAB=45°． ∵∠CAP=20°， ∴∠PAB=25°． ∵， ∴∠AHM=90°． ∴∠AMQ=90°－∠PAB=90°－25°=65°． 故答案为：65 （2）解：AP=QM