专题05 直线方程综合大题归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题5 直线方程综合大题归类 目录 一、热点题型归纳 【题型一】 求直线方程 1 【题型二】平行线距离 4 【题型三】解三角形：求边对应的直线方程 5 【题型四】解三角形三大线：中线对应直线 7 【题型五】解三角形三大线：高对应直线 9 【题型六】解三角形三大线：角平分线对应直线 10 【题型七】最值：面积最值 12 【题型八】最值：截距与长度 13 【题型九】叠纸 15 【题型十】三直线 18 【题型十一】 直线与曲线：韦达定理与求根 19 【题型十二】 直线应用题 21 培优第一阶——基础过关练 23 培优第二阶——能力提升练 27 培优第三阶——培优拔尖练 32 【题型一】 求直线方程 【典例分析】 （2022·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为.(1)求对角线所在直线方程； (2)已知直线过点，与直线的夹角余弦值为，求直线的方程. （以上所求方程都以直线的一般式方程作答） 【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由的中点在直线上，结合垂直关系得出对角线所在直线方程； （2）由点在直线上，得出直线的倾斜角为或，再由点斜式写出方程. (1) 由题意可知，的中点在直线上， 对角线所在直线方程为，即 (2) 点在直线上，设直线的倾斜角为，直线与直线的夹角为 则直线的倾斜角为或 ， 当直线的倾斜角为时，，即 故直线的方程为： 当直线的倾斜角为时，，则直线的方程为，即 【提分秘籍】 基本规律 1、可以适当的讲一下夹角公式： 2、到角公式： 3、如果不用夹角公式与到角公式，则可以处理 【变式训练】 1.（2022·湖南·长沙一中高二开学考试）已知直线的方程为，直线的方程为. (1)设直线与的交点为，求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (2)设直线的方程为，若直线与，不能构成三角形，求实数的取值的集合. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）通过联立和的方程求得点的坐标，对直线是否过原点进行分类讨论，由此求得直线的方程. （2）对于、的位置关系进行分类讨论，由此求得的值. （1） 由，解得，所以点的坐标为. 当直线在两坐标轴上的截距不为零时，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为. 当直线在两坐标轴上的截距均为零时，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. （2） 当直线与直线平行时不能构成三角形，此时，解得； 当直线与直线平行时不能构成三角形，此时，解得； 当直线过直线与的交点时不能构成三角形，此时，解得. 综上，或或2，故实数的取值的集合为. 2.（2022·全国·高二专题练习）如图，射线与轴正半轴的夹角分别为和，过点的直线分别交，于点． (1)当线段的中点为时，求的方程； (2)当线段的中点在直线上时，求的方程． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意可得的方程，再设，根据中点的坐标公式求解坐标，进而求得的斜率，再根据点斜式可得的方程； （2）同（1）将的中点坐标代入得到，进而求得的斜率，再根据点斜式求得的方程即可. （1）由于射线与轴正半轴的夹角分别为和，射线：．：． 设，的中点为点，由中点坐标公式求得，． 点坐标，点坐标．故的斜率为，又，：． （2）的中点在直线上，，即， ，：． 【题型二】平行线距离 【典例分析】 （2022·江苏·高二课时练习）已知直线过点，且被平行直线：与：所截取的线段长为，求直线的方程． 【答案】或 【分析】根据两条平行线之间的距离及解得的线段的长度，可推测出直线与、的夹角，利用正切函数的两角和公式即可求解直线的斜率，进而得出直线方程. 【详解】两条平行线之间的距离，截得的线段长为，推得直线与、的夹角为45°． 设直线的斜率为，故解得：或则直线的方程为：或. 整理得：或. 【提分秘籍】 基本规律 1、两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离：d＝ 2、过两定点的两条平行线之间的距离范围：[0,d].其d是两定点之间的距离 【变式训练】 1.（2022·江苏·高二专题练习）两平行直线，分别过，. (1)，之间的距离为5，求两直线方程； (2)若，之间的距离为d，求d的取值范围. 【答案】(1)或(2) 【分析】（1）斜率不存在时，不合题意，斜率存在时，设斜率为，表示出直线，，利用平行线间的距离公式解出即可； （2）结合图像可知当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大，求出，即可求得d的取值范围. (1) 当，斜率不存在时，易知，，之间的距离为1，不合题意； 当，斜率存在时，设斜率为，则，化为一般式得，，由，之间的距离为5，可得， 解得或，当时，；当时，. 故两直线方程为或. (2) 如图：当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最