第04讲：圆锥曲线中的向量问题（一）-冲刺2023年高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第三讲：向量问题（一） 【学习目标】 基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算； 应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，向量的数乘，向量的线性运算； 拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题. 素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养. 【基础知识】 解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：向量的数量积，向量的数乘，向量的线性运算，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。 1、向量的数量积 若，则 2、向量的数乘 若，则时， 3、向量的线性运算 若，则时，. 【考点剖析】 考点一：向量数量积 例1．在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值． 变式训练1：已知椭圆()的离心率为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于，两点，点的坐标为，且，求实数的值. 变式训练2：已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)若点在双曲线上，试求的值. 例2．已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为． (1)求的方程； (2)设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值． 变式训练3：已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为2. (1)求椭圆的方程； (2)若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接交椭圆于点，为坐标原点.证明：为定值. 变式训练:4：已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于两点，设，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 例3．已知椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，为坐标原点，求的最小值. 变式训练5：已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，是椭圆上一点，且面积的最大值为1. (1)求椭圆的方程； (2)过的直线交椭圆于两点，求的取值范围. 变式训练6：在平面直角坐标系中，已知点、，点满足，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线过圆的圆心且与圆交于两点，点为上一个动点，求的最小值． 例4．已知椭圆的左焦点为，点到短袖的一个端点的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，若，求的取值范围. 变式训练7：已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围． 变式训练8：已知双曲线的浙近线方程为，且虚轴长为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于不同的两点，且满足，求的取值范围. 考点二：向量的数乘 例1．已知椭圆过点，且离心率，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)判断是否存在直线，使得直线与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 变式训练：1已知椭圆的左右焦点分别为，，焦距为2，椭圆C的上顶点为，为正三角形，过点的直线与椭圆相交于两点 （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求直线的一般方程. 变式训练2：已知抛物线，准线方程为. (1)求抛物线的标准方程； (2)若定点，直线l与地物线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率. 变式训练3：若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为和，且该双曲线经过点P(3，1)． (1)求双曲线的方程； (2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率． 考点三：双向量数乘 例1．已知点，直线为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点.若，,求的值. 变式训练1：已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由. 变式训练2：如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点． （1）求椭圆的方程． （2）若直线交轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由． 变式训练3：已知