第一章 专题特训一 运用勾股定理解决最短路径与折叠问题（习题课件）-2022-2023学年八年级上册数学【拔尖特训】北师大版

数学（北师版）八年级上 第一章　勾股定理 专题特训一　运用勾股定理解决最短路径与折叠问题　 类型一　最短路径问题 1. 如图，圆柱底面周长为8 dm，高为3 dm.在圆柱的侧面上，点A和点C相对，表面嵌有一圈过点A和点C的金属丝，则这圈金属丝的周长最小为(　A　) A. 10 dm B. 8 dm C. 5 dm D. 11 dm (第1题) 2. 如图，长方体底面的长、宽分别为4 cm，2 cm，高为5 cm.若一只蚂蚁从点P开始爬行，经过4个侧面到达点Q的位置，则蚂蚁爬行的最短路程为　13　cm.  A　 13 3. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池的示意图，这个U形池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为m的半圆，其边缘AB＝CD＝20 m，点E在CD上，CE＝5 m，一滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为　25　m(边缘部分的厚度忽略不计).  25 4. 如图，一座高为18 m、底面周长为5 m的圆柱形水塔，现要造一个螺旋形楼梯，为了减小坡度，要求楼梯绕一周半到达水塔顶部，则楼梯至少多长？ 　　 解:如图，将圆柱形水塔的侧面沿高展开.根据“两点之间线段最短”，得楼梯的最短长度为展开图中线段AC的长.因为螺旋形楼梯绕一周半到达水塔顶部，底面周长为5 m，所以AB＝5＋×5＝(m).所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝＋182＝(m2).所以AC＝m.所以楼梯至少长m. 5. 如图，一个三级台阶，它的每一级台阶的长、宽、高分别为5 dm，3 dm，1 dm.A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点B的最短路程是多少？ 　 解:将台阶面按如图所示的方式展开.因为AC＝3×3＋1×3＝12(dm)，BC＝5 dm，所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝169(dm2).所以AB＝13 dm.所以这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点B的最短路程是13 dm. 类型二　折叠问题 6. ★如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP折叠至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为 　.  　　 7. (2020·甘孜州)如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8 cm，BC＝10 cm，E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为　5　cm.  　 5 8. 如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点F处，FC交AD于点E.若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积. 解:因为四边形ABCD是长方形，所以AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.由折叠，得∠F＝∠B＝90°，AF＝AB，CF＝BC.所以AF＝CD，∠F＝∠D.在△AFE和△CDE中，所以△AFE≌△CDE.所以FE＝DE，AE＝CE.因为AB＝4，BC＝8，所以CF＝8，AF＝CD＝4.所以在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE2＋CD2＝CE2，即DE2＋42＝(8－DE)2.所以DE＝3，CE＝5.所以AE＝5.所以图中阴影部分的面积为×5×4＝10. (第8题) 9. 小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作: 操作一:如图①，将纸片沿DE折叠，使斜边的两个端点A，B重合. (1) 如果AC＝6 cm，AB＝10 cm，可求得△ACD的周长为　14　cm.  (2) 如果∠CAD∶∠BAD＝1∶4，可求得∠B的度数为　40°　.  操作二:如图②，小王拿出另一张直角三角形纸片，将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，点C落在点E处.若AC＝9 cm，AB＝15 cm，求CD的长. (第9题) 14 40° 解:操作二:在Rt△ABC中，因为AC＝9 cm，AB＝15 cm，所以由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝152－92＝144(cm2).所以BC＝12 cm.由折叠，得AE＝AC＝9 cm，CD＝DE.因为AB＝15 cm，所以BE＝AB－AE＝6 cm.设CD＝x cm，则BD＝(12－x)cm，DE＝CD＝x cm.在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2＋BE2＝BD2，即x2＋62＝(12－x)2，解得x＝4.5.所以CD的长为4.5 cm. $