第一章 专题特训一 运用勾股定理解决最短路径与折叠问题-2022-2023学年八年级上册数学【拔尖特训】北师大版

求长方体表面两点之间最短 距离的规律 求长方体表面两点之间的最短 距离时,若长方体长、宽、高的长度 不相等,则通常有三种展开方式,三 种展开方式中,所构成的直角三角 形的两直角边的差最小时,斜边最 小,即距离最短. 10. 如图,将容器侧面的一半沿高展 开,则EG 为上底面圆周长的一半. 作点A 关于EG 的对称点A',连接 A'B 交EG 于点F,连接AF,则蚂蚁 吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+ BF 的长. 所以易得AF+BF=A'B=20 cm. 过点A'作A'D⊥BG,交BG 的延长 线于点D,则易得EG=A'D,BD= 16 cm. 所以在Rt△A'DB 中,由勾股定理, 得A'D2=A'B2-BD2=202-162= 144(cm2). 所以EG=A'D=12 cm. 所以这个圆柱形玻璃容器的底面周长 为2EG=2×12=24(cm). (第10题) 11. (1) CH 是从旅游地C 到河的最 近的路线.理由:因为CH2+BH2= 42+32=25(km2),BC2=25 km2, 所以CH2+BH2=BC2. 所以 △HBC 是 直 角 三 角 形,且 ∠CHB=90°. 所以CH⊥AB. 所以CH 是从旅游地C 到河的最近 的路线. (2) 设AB=AC=x km,则AH= (x-3)km. 在 Rt△ACH 中,由 勾 股 定 理,得 AC2=AH2+CH2,即x2=(x- 3)2+42,解得x=256. 所以原来路线AC的长为256km. 专题特训一　运用勾股定理 解决最短路径与折叠问题 1. A [解析]如图,把圆柱的侧面沿 高展开,得到长方形,则这圈金属丝的 周长最小为2AC的长度.因为圆柱的 底面周长为8 dm,高为3 dm,所以 AB=3 dm,BC=BC'=4 dm.所以由 勾股定理,得 AC2=AB2+BC2= 25 dm2.所以AC=5 dm.所以这圈金 属丝的周长最小为2AC=10 dm. (第1题) 2. 13 [解析]如图,将长方体的侧面 沿高展开,根据“两点之间线段最短”, 可得蚂蚁爬行的最短路程就是线段 PQ 的长.根据题意,得AP=2+4+ 2+4=12(cm),AQ =5 cm.在 Rt△PAQ 中,由勾股定理,得PQ2= AP2+AQ2=122+52=169(cm2).所 以PQ=13 cm,即蚂蚁爬行的最短路 程为13 cm. (第2题) 3. 25 [解析]如图是U形池可供滑 行部分的侧面展开图.根据题意,得 AD=12π ·40 π=20 (m),DE=20- 5=15(m).在Rt△ADE 中,由勾股定 理,得 AE2=AD2+DE2=202+ 152=625(m2).所以AE=25 m.所以 他滑行的最短距离为25 m. (第3题) 4. 如图,将圆柱形水塔的侧面沿高展 开 展开1个侧面+12 个侧面 . 根据“两点之间线段最短”,得楼梯的 最短长度为展开图中线段AC的长. 因为螺旋形楼梯绕一周半到达水塔顶 部,底面周长为5 m, 所以AB=5+12×5= 15 2 (m). 所以在Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AC2=AB2+BC2= 152 2 +182= 1 521 4 (m2). 所以AC=392m. 所以楼梯至少长39 2m. (第4题) 5. 将台阶面按如图所示的方式展开. 因为AC=3×3+1×3=12(dm), BC=5 dm, 所以在Rt△ABC 中,由勾股定理,得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 AB2=AC2 +BC2 =122 +52 = 169(dm2). 所以AB=13 dm. 所以这只蚂蚁从点A 出发,沿着台阶 面爬到点