专题06 利用函数性质解决抽象函数不等式-学会解题之高三数学多题一解【2023版】

学会解题+万能模板 专题06 利用函数性质解决抽象函数不等式 【高考地位】 函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。 确定抽象函数单调性解函数不等式 万能模板 内 容 使用场景 几类特殊函数类型 解题模板 第一步 （定性）确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性； 第二步 （转化）将函数不等式转化为的形式； 第三步 （去）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步 （求解）解不等式或不等式组确定解集； 第五步 （反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范. 例1 已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为__________． 【答案】. 【解析】第一步，（去）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“”，转化成一般的不等式或不等式组： 若对于任意给定的实数，且，，不等式恒成立，等价为恒成立，即是定义在上的减函数， 第二步，（定性）确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性： 又是定义在上的奇函数，所以， 第三步，（求解）解不等式或不等式组确定解集： 当时， ，所以，联立解得，当时， ，所以，无解，综上应填. 【变式演练1】（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）已知定义在上的函数满足：对任意的，，，都有，，则满足不等式的x的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将转化为，从而得到函数为增函数，再结合将所求不等式转化为，进而根据单调性求解即可. 【详解】可转化为，不妨设，则，∴. 令，由单调性定义可知，为上的增函数. ∵，∴. ∵，∴， ∴，∴， ∴，即x的取值范围为. 故选：B. 【变式演练2】（2022·安徽·高三开学考试）已知定义在上的偶函数满足，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，利用已知可得函数的单调性，利用周期性求出，化简已知不等式，利用单调性得出解集． 【详解】是偶函数，，则，即是奇函数， 由，可得，构造，则单调递增；，，即的周期为，则，即；不等式可化简为，即，由单调性可