第01讲 空间向量-2022-2023学年高二数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

第1讲 空间向量 【题型目录】 模块一：易错试题精选 模块二：培优试题精选 模块三：全国高中数学联赛试题精选 【典例例题】 模块一：易错试题精选 1．在四面体中，在面ABC内，在面BCD内，且满足，，若（，均不为0），则下面有关线段AQ与DP的关系的表述中，正确的是（    ） A．与所在直线是异面直线 B．与所在直线平行 C．线段与必相交 D．线段与延长后相交 2．已知正方体，是线段上一点，下列说法正确的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线平面 D．若，则直线平面 3．如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）如图，在三棱锥中，，，则（    ） A． B． C．若点P是棱BC上任一点，则为定值 D．三棱锥的体积是 5．（多选题）在四面体P-ABC中，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若Q为△ABC的重心，则 C．若，，则 D．若四面体P-ABC的棱长都为2，点M，N分别为PA，BC的中点，则 6．如图所示，在正方体中，棱长为2，、、、、、、、、、、、分别为各棱的中点，则的不同值有______个． 7．在四面体中，棱，，两两垂直，且，，，为的重心，则______． 8．如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与MN所成角的正弦值的最小值为________． 9．如图，在棱长为1的正方体中，分别为、、的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面； (3)试在棱上找一点，使平面，并证明你的结论． 10．如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，M为PO的中点，． (1)求证：平面EAC； (2)求直线DM到平面EAC的距离． 11．如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，，，． (1)若点F为DC的中点，求； (2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当时，求的值． 12．如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）． (1)当侧面底面时，求点到平面的距离； (2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 13．如图，在四棱锥中，侧面是边长为的正三角形且与底面垂直，底面是菱形，且，为棱上的动点，且． (1)求证：为直角三角形； (2)试确定的值，使得平面与平面夹角的余弦值为． 14．某商品的包装纸如图1所示，四边形ABCD是边长为3的菱形，且∠ABC＝60°，，．将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N重合，记为点P，恰好形成如图2所示的四棱锥形的包装盒． (1)证明：底面ABCD； (2)设T为BC边上的一点，且二面角的正弦值为，求PB与平面PAT所成角的正弦值． 模块二：培优试题精选 1．如图，在正方体ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A-l-P为θ，已知初始状态下x=0，d=0，则（    ） A．当x增大时，θ先增大后减小 B．当x增大时，θ先减小后增大 C．当d增大时，θ先增大后减小 D．当d增大时，θ先减小后增大 2．（多选题）如图 ， 已知正方体的梭长为，为正方形底面内的一动点，则下列结论正确的有（    ） A．三棱雉的体积为定值 B．存在点，使得 C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段 D．若点是的中点，点是 的中点， 过作平面平面，则平面截正方体的截面周长为 3．（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（       ） A．几何体的外接球半径 B．平面 C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为 D．面与底面所成角正弦值的取值范围为 4．（多选题）如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，以下说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为 B．平面 C．过点作正方体的截面，所得截面的面积是 D．异面直线与所成的角的余弦值为 5．（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．几何体的外接球半径 C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为 D．面与底面所成角正弦值的取值范围为 6．（多选题）在长方体中，，则下列命题为真命题的是（    ） A．若直线与直线所成的角为，则 B．若经过点的直线与长方体所有棱所成的角相等，且与面交于点，则 C．若经过点的直线与长方体所有面所成的角都为，则 D．若经过点的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则 7．（多选题）如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点