精品解析：广东省肇庆市第一中学2023-2024学年高二上学期学科能力竞赛数学试题

肇庆市第一中学2023-2024学年高二年级数学学科能力竞赛 一、单选题 1. 设向量不共面，已知，，若三点共线，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知二面角的棱上两点，，线段与分别在这个二面角内的两个半平面内，并且都垂直于棱.若，，，.则这两个平面的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则三棱锥的体积为（ ） A. B. 3 C. D. 4. “”是“直线被圆所截得的弦长等于”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆C方程为，直线，点P是直线l上的一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为（ ） A. B. C D. 6. 已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为.，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 7. 已知，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. .如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是_________. 10. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为__________. 11. 已知圆的圆心在直线上，且与直线和轴都相切，则圆的方程为___________. 12. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________. 13. 已知是棱长为1的正四面体.若点满足，其中，则的最小值为______. 14. 设，分别为椭圆左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为__________． 15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为______． 16. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆：，点，平面内一定点（异于点），对于圆上任意动点，都有比值为定值，则定点的坐标为______. 三、解答题 17. 已知点，圆． （1）求圆过点的切线方程； （2）为圆与轴正半轴的交点，过点作直线与圆交于两点、，设、的斜率分别为、，求证：为定值． 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上． （1）求的方程； （2）过作两条相互垂直直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值． 四、解答题 19. 已知点，点和点为椭圆上不同的三个点.当点，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形. （1）求椭圆标准方程； （2）若为原点，且满足，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 肇庆市第一中学2023-2024学年高二年级数学学科能力竞赛 一、单选题 1. 设向量不共面，已知，，若三点共线，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得： 故选：A. 2. 已知二面角的棱上两点，，线段与分别在这个二面角内的两个半平面内，并且都垂直于棱.若，，，.则这两个平面的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象可得，再利用空间向量数量积的运算律可得两平面夹角的余弦值. 【详解】由题可知，、在直线上，，，且，，如下图， 故，，，，，， 因为， 故， 故，解得， 所以平面和平面的夹角的余弦值是. 故选：A 3. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且