1.5.1 全称量词与存在量词（课时练习）-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

[对应素能提升训练第15页] 1．下列是存在量词命题且是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＞0 B．∃x∈Z，x2＞2 C．∀x∈N，x2∈N D．∃x，y∈R，x2＋y2＜0 解析　对于A，∀x∈R，x2＞0是全称量词命题，不合题意；对于B，∃x∈Z，x2＞2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；对于C，∀x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；对于D，∃x，y∈R，x2＋y2＜0是存在量词命题，是假命题，不合题意． 答案　B 2．(多选)下列说法不正确的是(　　) A．对所有的正实数t，有＜t B．存在实数x，使得x2－3x－4＝0 C．不存在实数x，使得x＜4且x2＋5x－24＝0 D．存在实数x，使得|x＋1|≤1且x2＞4 解析　t＝时， ＞t，所以A错误；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C错误；由|x＋1|≤1，得－2≤x≤0，由x2＞4，得x＜－2或x＞2，所以D错误． 答案　ACD 3．已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．0＜a＜4 B．a＞4 C．a＜0 D．a≥4 解析　因为p是假命题，所以方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a＜0，即a＞4. 答案　B 4．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5 解析　当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}.又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C. 答案　C 5．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成存在量词命题为________________． 解析　存在量词命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． 答案　∃x＜0，(1＋x)(1－9x)2＞0 6．对任意x＞3，x＞a恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析　由题意{x|x＞3}⊆{x|x＞a}，用数轴表示两集合关系如图，所以a≤3. 答案　{a|a≤3} 7．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假： (1)∃x(x∈R)，x－2≤0； (2)三角形两边之和大于第三边； (3)有些整数是偶数． 解　(1)存在量词命题．x＝1时，x－2＝－1≤0，故存在量词命题“∃x(x∈R)，x－2≤0”是真命题． (2)全称量词命题．三角形中，任意两边之和大于第三边．故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题． (3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数．故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题． 8．(多选)下列全称量词命题中真命题有(　　) A．负数不能开根号 B．对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab C．二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点 D．∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|＞0. 答案　ABC 9．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 解析　当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以AB错误，CD正确．故选CD. 答案　CD 10．已知“∀x∈{x|0≤x≤2}，m＞x”和“∃x∈{x|0≤x≤2}，n＞x”均为真命题，那么m，n的取值范围分别是(　　) A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＞2 C．m＞2，n＞0 D．m＞2，n＞2 解析　由“∀x∈{x|0≤x≤2}，m＞x”是真命题，可得m＞2；由“∃x∈{x|0≤x≤2}，n＞x”是真命题，可得n＞0. 答案　C 11．若“∃x∈{x|1≤x≤2}，x－a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是____________． 解析　由题意转化为真命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x－a＞0”，即a＜x，1≤x≤2恒成立，故a＜1. 答案　{a|a＜1} 12．已知p：x2＋2x－m＞0，如果x＝1时，p是假命题，x＝2时，p是真命题，则实数m的取值范围是____________． 解析　由x＝1时，p是假命题，x＝2时，p是真命题， 得解得3≤m＜8. 答案　3≤m＜8 13．已知集合M＝{x|x＜－3，或x＞5}，P＝{x|a≤x≤8}．求实数a的取值范围，使