1.5.1全称量词与存在量词学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学学案聚焦全称量词与存在量词核心知识点，通过对比未限定变量的非命题语句与添加量词后的命题语句，衔接“命题”旧知，构建从具体语句到抽象概念的学习支架，系统梳理量词对命题构成的关键作用。 资料以对比导入直观呈现概念形成过程，符号化表示强化数学抽象，例题讲解突出命题真假判断方法，分层练习覆盖基础与综合应用，助力学生提升逻辑推理素养和数学表达能力，有效巩固知识，深化对逻辑用语的理解。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.5.1 全称量词与存在量词 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 理解全称量词和存在量词 2、 理解全称量词命题和存在量词命题 使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养 重点 全称量词命题和存在量词命题的含义 难点 全称量词命题和存在量词命题的含义 新知导入 我们知道，命题是可以判断真假的陈述句．在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词．本节将学习全称量词和存在量词． 思考： 下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）； （2）是整数； （3）对所有的 ； （4）对任意一个 是整数． 语句（1）（2）中含有变量 ，由于不知道变量 代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．语句（3）在（1）的基础上，用短语“所有的”对变量 进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量 进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此语句（3）（4）是命题． 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． 常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． 下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）； （2） 能被2和3整除； （3）存在一个 ，使 ； （4）至少有一个 能被2和3整除． 容易判断，（1）（2）不是命题．语句（3）在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量 的取值进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用“至少有一个”对变量 的取值进行限定，从而使（3）（4）变成了可以判断真假的陈述句，因此（3）（4）是命题． 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ヨ ”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． 知识清单 知识点一：全称量词与全称量词命题 1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示. 2.全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中 x，成立”可用符号简记为 . 知识点二：存在量词与存在量词命题 3.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示. 4.存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.存在量词命题“ M中的元素x，成立”可用符号简记为 . 例题讲解 例1 判断下列全称量词命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2）； （3）对任意一个无理数 也是无理数． 例2 判断下列存在量词命题的真假： （1）有一个实数 ，使 ； （2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （3）有些平行四边形是菱形． 课堂练习 1.下列命题中，是真命题的全称量词命题的是( ) A.实数都大于0 B.梯形两条对角线相等 C.有小于1的自然数 D.三角形内角和为180度 2.设非空集合P，Q满足，则下列命题正确的是( ) A.， B.， C.， D.， 3.下列命题是全称量词命题的是( ) A.存在一个实数的平方是负数 B.每个四边形的内角和都是 C.至少有一个整数x，使得是质数 D.， 4.（多选）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A.， B.，为偶数 C.所有菱形的四条边都相等 D.是无理数 5.下列命题中： ①任意一个自然数都是正整数； ②有的菱形是正方形； ③三角形的内角和是. 其中是全称量词命题的是：_________________. 6.若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为________. 7.若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是________. 课后练习 1.将“”改写成全称量词命题，下列说法正确的是( ) A.对任意，都有 B.存在，使 C.对任意，，都有 D.存在，，使 2.下列命题中不是存在量词命题的是( ) A.有的无理数的平方是有理数 B.有的无理数的平方不是有理数 C.对于任意，是奇数 D.存在，是奇数 3.下列命题是全称量词命题的是( ) A.存在一个实数的平方是负数 B.每个四边形的内角和都是 C.至少有一个整数x，使得是质数 D.， 4.下列命题中为真命题的是( ) A.， B.， C.， D.， 5.下列命题为全称量词命题的是( ) A.存在实数x，使得 B.有的有理数的立方是无理数 C.有一个实数的绝对值是负数 D.任间三角形的内角和都是 6.（多选）下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是( ) A.所有的正方形都是矩形 B.有些梯形是平行四边形 C.， D.至少有一个整数m，使得 7.用量词符号“，”表示下列命题. （1）有的实数不能写成小数形式：______________________； （2）凸n边形的外角和都等于：______________________. 8.指出下列命题中哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假. （1）对任意一个无理数x，也是无理数； （2）对任意实数a，b，若，则； （3）对任意一个实数x，都有； （4）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线. 9.已知集合，，若命题，是真命题，则m的取值范围为_________. 答案以及解析 知识清单 1.全称量词 2.任意一个 ， 3.存在量词 4.存在 ， 例题讲解 例题1 分析：要判定全称量词命题“”是真命题，需要对集合 中每个元素 ，证明 成立；如果在集合 中找到一个元素 ，使 不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． 解：（1）2是素数，但2不是奇数．所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题． （2），总有 ，因而 ．所以，全称量词命题“”是真命题． （3） 是无理数，但 是有理数．所以，全称量词命题“对每一个无理数 也是无理数”是假命题． 例题2 分析：要判定存在量词命题“”是真命题，只需在集合 中找到一个元素 ，使 成立即可；如果在集合 中，使 成立的元素 不存在，那么这个存在量词命题是假命题． 解：（1）由于 ，因此一元二次方程 无实根．所以，存在量词命题“有一个实数 ，使 ”是假命题． （2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线．所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题． （3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题． 课堂练习 1.答案：D 解析：A.实数都大于0，是全称量词命题，假命题； B.梯形两条对角线相等，是全称量词命题，假命题； C.有小于1的自然数，是存在量词命题，真命题； D.三角形的内角和为180度，是全称量词命题，真命题. 故选：D. 2.答案：A 解析：因为，所以，根据子集的定义可知，，. 故选：A. 3.答案：B 解析：选项A，C，D中，分别有“存在”“至少”“”，所以选项A，C，D都为存在量词命题.选项B：因为有“每个”这样的全称量词，所以选项B中的命题为全称量词命题. 故选：B. 4.答案：AC 解析：对于A项，因，恒成立，故该命题是全称量词命题，且是真命题，故A正确； 对于B项，该命题是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确； 对于C项，该命题是全称量词命题，且是真命题，故C正确； 对于D项，该命题是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确. 故选：AC. 5.答案：①③ 解析：①任意一个自然数都是正整数， “任意一个”是全称量词，命题是全称量词命题； ②有的菱形是正方形，“有的”是存在量词，命题为存在量词命题； ③三角形的内角和是，指的是所有三角形，命题是全称量词命题. 故答案为：①③. 6.答案： 解析：命题“，”为假命题，方程无实数根．则，解得． 故答案为： 7.答案： 解析：由题可知判别式， 即， 解得. 故实数m的取值范围是. 课后练习 1.答案：A 2.答案：C 解析：A，B，D中都含有存在量词，是存在量词命题，C中含有全称量词“任意”，是全称量词命题.故选C. 3.答案：B 解析：选项A，C，D中，分别有“存在”“至少”“”，所以选项A，C，D都为存在量词命题.选项B：因为有“每个”这样的全称量词，所以选项B中的命题为全称量词命题. 4.答案C 解析：，，故是假命题.当时，，故是假命题.，，故是真命题.对于方程，，此方程无解，故是假命题. 5.答案：D 解析：对选项A，为存在量词命题， 对选项B，存在量词命题， 对选项C，为存在量词命题， 对选项D，为全称量词命题. 故选：D. 6.答案：CD 解析：A是全称量词命题，为真命题，A不满足要求； B是存在量词命题，为假命题，B不满足要求； C是存在量词命题，令，则，该命题为真命题，C满足要求； D是存在量词命题，令，则，该命题为真命题，D满足要求.故选CD. 7.（1），x不能写成小数形式 （2）是凸n边形}，x的外角和等于360° 8. 解析：（1）全称量词命题，假命题.如：是无理数，但是有理数，所以该命题是假命题. （2）全称量词命题，假命题.当，时，满足，此时，，，所以该命题为假命题. （3）全称量词命题，真命题.对任意一个实数x，都有，则，故该命题是真命题. （4）存在量词命题，假命题.因为平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线，所以该命题是假命题. 9.答案： 解析：由于命题，是真命题，所以， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $