中学数学竞赛讲座及练习第41讲 二次函数

第四十一讲 二次函数 二次函数是一类十分重要的最基本的初等函数，也是初中数学的主要内容之一，它在中学数学中起着承上启下的作用，它与一元二次方程、一元二次不等式知识的综合运用，是初中代数的重点和难点之一．另外，二次函数在工程技术、商业、金融以及日常生活中都有着广泛的应用．通过对二次函数的学习，使我们能进一步理解函数思想和函数方法，提高分析问题、解决问题的能力．正确掌握二次函数的基本性质是学好二次函数的关键． 　 　　1．二次函数的图像及其性质 　 　　例1 (1)设抛物线y=2x2，把它向右平移p个单位，或向下移q个单位，都能使得抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点，求p，q的值． 　　(2)把抛物线y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到的抛物线经过点(1，3)与(4，9)，求p，q的值． 　　(3)把抛物线y=ax2＋bx＋c向左平移三个单位，向下平移两个单位析式． 　　解 (1)抛物线y=2x2向右平移p个单位后，得到的抛物线为y=2(x-p)2．于是方程 2(x-p)2=x-4 有两个相同的根，即方程 2x2-(4p+1)x+2p2＋4=0 的判别式 △=(4p+1)2-4·2·(2p2＋4)=0， 　　抛物线y=2x2向下平移q个单位，得到抛物线y=2x2-q．于是方程2x2-q=x-4 有两个相同的根，即 △=1-4·2(4-q)=0， 　　(2)把y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，得到的抛物线为y=2(x+p)2＋q．于是，由题设得 　 解得p=-2，q=1，即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位． 　　　 　 　　　　 解得h=3，k=2．原二次函数为 　 　 　　说明 将抛物线y=ax2＋bx＋c向右平移p个单位，得到的抛物线是y=a(x-p)2＋b(x-p)＋c；向左平移p个单位，得到的抛物线是y=a(x＋p)2＋b(x＋p)＋c；向上平移q个单位，得到y=ax2＋bx＋c＋q；向下平移q个单位，得到y=ax2＋bx＋c-q． 　　例2 已知抛物线y=ax2＋bx＋c的一段图像如图3－7所示． 　 　　(1)确定a，b，c的符号； 　　(2)求a＋b＋c的取值范围． 　　解 (1)由于抛物线开口向上，所以a＞0．又抛物线经过点(0，-1)， 合a＞0便知b＜0．所以a＞0，b＜0，c＜0． 　　(2)记f(x