中学数学竞赛讲座及练习第35讲归纳与发现

第三十五讲 归纳与发现 归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般． 　　例1 如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？ 　　分析与解 我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数． 第一层有点数：1； 第二层有点数：1×6； 第三层有点数：2×6； 第四层有点数：3×6； …… 第n层有点数：(n-1)×6. 　　因此，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个．n层共有点数为 　　 　　例2 在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问： 　 　　(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？ 　　(2)这n个圆共有多少个交点？ 　　分析与解 (1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18．1． 　 　　由表18．1易知 S2-S1=2， S3-S2＝3， S4-S3＝4， S5-S4＝5， …… 　　由此，不难推测 Sn-Sn-1＝n． 　　把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到 Sn-S1＝2＋3＋4＋…＋n， 　　因为S1=2，所以 　 　 　　下面对Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正确性略作说明． 　　因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n． 　　(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2． 　 　　由表18．2容易发现 a1＝1， a2-a1＝1， a3-a2＝2， a4-a3＝3， a5-a4＝4， …… an-1-an-2＝n-