中学数学竞赛讲座及练习第32讲中位线及其应用

第三十二讲 中位线及其应用 中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 　 　　例1 如图2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，△ABC的面积． 　　分析 由条件知，EF，EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出△ABC的高AD及底边BC的长． 　　解 由已知，E，F分别是AB，BD的中点，所以，EF是△ABD的一条中位线，所以 　 　　由条件AD+EF=12(厘米)得 EF=4(厘米)， 　　从而 AD=8(厘米)， 　 　　由于E，G分别是AB，AC的中点，所以EG是△ABC的一条中位线，所以 BC=2EG=2×6=12(厘米)， 　　显然，AD是BC上的高，所以 　 　　例2 如图 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H． 　 　　(1)求证：GH∥BC； 　　(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH． 　　分析 若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH∥BC，进而，利用△ABC的三边长可求出GH的长度． 　　(1)证 分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以 △ABG≌△MBG(ASA)． 　　从而，G是AM的中点．同理可证 △ACH≌△NCH(ASA)， 　　从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即 HG∥BC． 　　(2)解 由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以 AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米． 　　又BC=18厘米，所以 BN=BC-CN=18-14=4(厘米)， MC=BC-BM=18-9=9(厘米)． 　　从而 MN=18-4-9=5(厘米)， 　　 　　说明 (1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是