中学数学竞赛讲座及练习第30讲 平行四边形

第三十讲 平行四边形 平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用． 　　由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质： 　　(1)平行四边形对角相等； 　　(2)平行四边形对边相等； 　　(3)平行四边形对角线互相平分． 　　除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法： 　　(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 　　(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 　　(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形； 　　(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 　　例1 如图2-32所示．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分． 　 　　分析 只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手． 　　证 因为ABCD是平行四边形，所以 ADBC，ABCD，∠B=∠D． 　　又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而 AE=CF． 　　所以 　　Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以 △BEM≌△DFN(SAS)， 　　ME=NF． ① 　　又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以 △MAF≌△NCE(SAS)， 　　所以 MF=NF． ② 　　由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分． 　　例2 如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF． 　 　　分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．这样，将AE“转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解． 　　证 作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而 △ABG≌△HBG(AAS)， 　　所以 AB=HB． ① 　　在△ABE及△HBE中， ∠ABE=∠CBE，BE=BE