中学数学竞赛讲座及练习第29讲 勾股定理与应用

第二十九讲 勾股定理与应用 在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理． 　　勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即 a2+b2=c2． 　　勾股定理逆定理 如果三角形三边长a，b，c有下面关系： a2+b2=c2 　　那么这个三角形是直角三角形． 　　早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法． 　　关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法． 　　证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和． 　　过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为 AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG， 　　所以△ACE≌△AGB(SAS)．而 　 　　所以 SAEML=b2． ① 　　同理可证 SBLMD=a2． ② 　　①+②得 SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2， 　　即 c2=a2+b2． 　　证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知 △ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC， 　　所以 　　AG=GH=HB=AB=c， 　　∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°， 　　因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即 　 　　化简得 a2+b2=c2． 　 　　证法3 如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等： △AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB． 　　设五边形ACKDE的面积为S，一方面 　　S=SABDE+2S△ABC， ① 　　另一方面 　　S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ② 　　由①，② 　　 　 　　所以 c2=a2+b2．