中学数学竞赛讲座及练习第26讲非负数

第二十六讲 非负数 所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根． 　　1．实数的偶次幂是非负数 　　若a是任意实数，则a2n≥0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2≥0． 　　2．实数的绝对值是非负数 　　若a是实数，则 　 　　性质 绝对值最小的实数是零．` 　　3．一个正实数的算术根是非负数 　　 　　4．非负数的其他性质 　　(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，an为非负数，则 　　a1＋a2＋…＋an≥0． 　　(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1＋a2＋…＋an=0，则必有a1＝a2＝…＝an＝0． 　　在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多． 　　(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数． 　　(5)最小非负数为零，没有最大的非负数． 　　(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数． 　　应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决． 　　 　　　 　　解得a=3，b=-2．代入代数式得 　　 　　　 　　解 因为(20x-3)2为非负数，所以 -(20x-3)2≤0． ① 　　 -(20x-3)2≥0． ② 　　由①，②可得：-(20x-3)2=0．所以 　　原式=｜｜20±0｜＋20｜=40． 　　说明 本题解法中应用了“若a≥0且a≤0，则a=0”，这是个很有用的性质． 　　例3 已知x，y为实数，且 　 　　解 因为x，y为实数，要使y的表达式有意义，必有 　　　 　　　 　　解 因为a2+b2-4a-2b+5=0，所以 a2-4a+4+b2-2b+1=0， 　　即 (a-2)2+(b-1)2=0． 　　(a-2)2=0，且 (b-1)2=0． 　　所以a=2，b=1．所以 　　 　 　　例5 已知x，y为实数，求 　　u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x，y的值． 　　解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3 　　　　=x2+y2+1-2xy+2