专题3.9 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50道）-2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题3.9 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50道） 【华东师大版】 考卷信息： 本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对等腰三角形工具的应用及构造等腰三角形！ 一．解答题（共50小题） 1．（2022秋•开福区校级期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC交CD于F，延长AB、DC交于点E． （1）求证：AC平分∠EAF； （2）求证：∠FAD＝∠E； （3）若∠EAD＝90°，AE＝5，AF＝3，求CF的长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF＝∠BCA，等量代换证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可； （3）根据三角形的内角和定理得到∠E+∠ADE＝90°，由（2）知，∠FAD＝∠E，求得∠AFD＝∠AFE＝90°，根据勾股定理得到EF4，设DF＝x，求得DF，得到AD，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，于是得到结论． 【详解】（1）证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC， ∴BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵BC∥AF， ∴∠CAF＝∠BCA， ∴∠CAF＝∠BAC， 即AC平分∠EAF； （2）证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵∠DCA是△ACE的一个外角， ∴∠DCA＝∠E+∠EAC， ∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF， ∵∠CAF＝∠EAC， ∴∠FAD＝∠E； （3）解：∵∠EAD＝90°， ∴∠E+∠ADE＝90°， 由（2）知，∠FAD＝∠E， ∴∠DAF+∠ADE＝90°， ∴∠AFD＝∠AFE＝90°， ∵AE＝5，AF＝3， ∴EF4， 设DF＝x， ∵DE2﹣AE2＝AD2＝AF2+DF2， ∴（4+x）2﹣52＝32+x2， 解得x， ∴DF， ∴DE， ∴AD， ∵BD所在的直线垂直平分线段AC， ∴AD＝CD， ∴CF． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 2．（2022秋•铁西区期末）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G． （1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝　60　度； （2）若∠MON＝n°，则∠ACG＝　（90）　度；（用含n的代数式表示） （3）如图2，若∠MON＝72°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系． 【分析】（1）先由∠MON＝60°求得∠ABO+∠BAO＝120°，然后由AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线求得∠CAB+∠CBA＝60°，最后结合三角形的外角性质求得∠ACG的度数； （2）根据（1）中的过程，用含有n的式子表示即可得到结果； （3）先由CF∥OA得到∠ACF＝∠CAG，然后由∠BGO是△ACG的外角得到∠BGO﹣∠ACF＝∠BGO﹣∠CAG＝∠ACG，再由（2）得∠ACG＝90°72°＝54°，最后得到∠BGO和∠ACF的数量关系． 【详解】解：（1）∵∠MON＝60°， ∴∠ABO+∠BAO＝180°﹣60°＝120°， ∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线， ∴∠ABC+∠BAC（∠ABO+∠BAO）＝60°， ∵∠ACG是△ABC的外角， ∴∠ACG＝∠ABC+∠BAC＝60°， 故答案为：60． （2）∵∠MON＝n°， ∴∠ABO+∠BAO＝180°﹣n°， ∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线， ∴∠ABC+∠BAC（180°﹣n°）＝（90）°， ∵∠ACG是△ABC的外角， ∴∠ACG＝∠ABC+∠BAC＝（90）°， 故答案为：（90）． （3）∵CF∥OA， ∴∠ACF＝∠CAG， ∴∠BGO﹣∠ACF＝∠BGO﹣∠CAG＝∠ACG， 由（2）得：∠ACG＝90°72°＝54°， ∴∠BGO﹣∠ACF＝54°． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和与外角和定理、角平分线的定义，整体思想的应用是解题的关键． 3．（2022秋•单县期末）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE． 【分析】①由平行线的性质得∠ADB＝∠DBC，再由角平分线的定义得∠ABD＝∠DBC，则∠ABD＝∠ADB，然后由等腰三角形的判定即可得到AB＝AD； ②由平行线的性质得∠A