专题12.2 一次函数与图形面积（重点题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（沪科版）

专题12.2 一次函数与图形面积 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先根据直线的解析式求出点的坐标，再利用三角形的面积公式即可得； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再分①点在线段上和②点在线段上两种情况，根据的面积是的面积的建立方程求解即可得． 【解题过程】 解：（1）设直线的解析式为， 由题意，将点代入得：， 解得， 则直线的解析式为． （2）对于函数， 当时，，即， ， ∴的边上的高为3， 则的面积为． （3）设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在线段上时， 设点的坐标为， 的面积是的面积的，且的面积为6， ， 解得， 则， 所以此时点的坐标为； ②如图，当点在线段上时， 设点的坐标为， 的面积是的面积的，且的面积为6， ， 解得， 则， 所以此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 1．一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为（    ） A．2 B．或 C． D．2或 【思路点拨】 分别令y=0和x=0可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b的方程，求解即可求得到答案． 【解题过程】 解：设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B， 在y=2x+b中，令y=0可得x=-，令x=0可得y=b， ∴A（-，0），B（0，b）， ∴OA=|-|，OB=|b|， ∵S△AOB=1， ∴OA•OB=1，即×||×|b|=1， 整理可得|b|2=4， ∴b=2或b=-2，故D正确． 故选：D． 2．已知一次函数 与 的图象都经过点A，且与y轴分别交于点B，C，若点在一次函数 的图象上，则的面积为 A．3 B．4 C．6 D．8 【思路点拨】 首先根据题意，分别求出点A、B、C、D的坐标，即可判定的底为6，高为1，则可求出面积. 【解题过程】 解：根据题意，联立方程 解得 即点A的坐标为（-2,0） 又根据题意，可得点B（0,4），点C的坐标为（0，-2），点D的坐标为（-1,2） 中，BC=6，其高为点D的横坐标的长度，即为1，则 故答案为A. 3．如图，直线分别与轴、轴交于点，点，直线分别与轴，轴交于点，点．直线与相交于点，已知，则点的坐标是（   ） A． B． C． D．， 【思路点拨】 由直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，即可求得点A与B的坐标，又由S△ABD=4，即可求得点D的坐标，由待定系数法即可求得直线CD的解析式，然后由直线AB与CD相交于点P，可得方程组：，解此方程即可求得答案． 【解题过程】 解：∵直线AB：y=x+1分别与x轴、y轴交于点A、点B， 令，则；令，则， ∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，1）， ∴OA=2，OB=1， ∵S△ABD=BD•OA=×BD×2=4， ∴BD=4， ∴OD=BD-OB=4-1=3， ∴点D的坐标为（0，-3）， ∵点D在直线y=x+b上， ∴b=-3， ∴直线CD的解析式为：y=x-3， ∵直线AB与CD相交于点P， 联立可得：， 解得， 即的坐标是． 故选：． 4．已知直线l1：y＝kx＋k＋1与直线l2：y＝(k＋1)x＋k＋2(k为正整数)，记直线l1和l2与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1＋S2＋S3＋…＋S10的值为( ) A． B． C． D． 【思路点拨】 变形解析式得到两条直线都经过点（−1，1），即可证出无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（−1，1）；先求出y＝kx＋k＋1与x轴的交点和y＝（k＋1）x＋k＋2与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出Sk，求出，，以此类推，，相加后得到． 【解题过程】 解：∵直线l1：y＝kx＋k＋1＝k（x＋1）＋1， ∴直线l1：y＝kx＋k＋1经过点（−1，1）； ∵直线l2：y＝（k＋1）x＋k＋2＝k（x＋1）＋（x＋1）＋1＝（k＋1）（x＋1）＋1， ∴直线l2：y＝（k＋1）x＋k＋2经过点（−1，1）， ∴无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（−1，1）， ∵直线l1：y＝kx＋k＋1与x轴的交点为， 直线l2：y＝（k＋1）x＋k＋2与x轴的交点为， ∴， ∴， …… ， 故选：A． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线、、所对应的函数表达式分别为、、（k≠0且k≠1），若与x轴相交于点A，与、分别相交于点P、Q，则△APQ的面积（　　） A．等于8 B．等于10 C．等于12 D．随着k的取值变化而变化 【思路点拨】 设与x轴的交点为B，根据三条直线的解析式，即可求出点P、Q、A