第08讲 幂、指数与对数（5大考点）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第一册）

第08讲 幂、指数与对数（5大考点） ( 考点 考向 ) 一．有理数指数幂及根式 【根式与分数指数幂】 规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1） ＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1） 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 常考题型： 例1：下列计算正确的是（　　） A、（﹣1）0＝﹣1 B、＝a C、＝3 D、＝a（a＞0） 分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案． 解：∵（﹣1）0＝1， ∴A不正确； ∵， ∴B不正确； ∵， ∴C正确； ∵ ∴D不正确． 故选：C． 点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题． 【有理数指数幂】 （1）幂的有关概念： ①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． （2）有理数指数幂的性质： ①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）； ②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）； ③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）． 常考题型： 例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（　　） A、 B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n D、1÷an＝a0﹣n 分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案． 解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立； B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立； C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立； D中，1÷an＝a0﹣n，成立． 故选：D． 点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质． 二．对数的概念 【知识点的认识】 1．对数的定义 如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． （2）几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a（a＞0且a≠1） logaN 常用对数 底数为10 lgN 自然对数 底数为e lnN 三．指数式与对数式的互化 【知识点归纳】 ab＝N⇔logaN＝b； alogaN＝N；logaaN＝N 指数方程和对数方程主要有以下几种类型： （1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法） （2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法） （3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法） （4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）＝；（换底法） （5）Alogx+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法） 四．对数的运算性质 【知识点的认识】 对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）． loga（MN）＝logaM+logaN； loga＝logaM﹣logaN； logaMn＝nlogaM； loga＝logaM． 五．换底公式的应用 【知识点归纳】 换底公式及换底性质： （1）logaN＝ （a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）． （2）logab＝， （3）logab•logbc＝logac， （4）loganbm＝logab． ( 考点 精讲 ) 一．有理数指数幂及根式（共5小题） 1．（2022•杨浦区校级开学）已知x∈R，使代数式的值为有理数的x的集合是（　　） A．R B．Q C．使的集合 D．使的集合 【分析】分母有理化之后即可得出，从而可得出答案． 【解答】解：∵＝∈Q， ∴x∈Q． 故选：B． 【点评】本题考查了分母有理化的方法，考查了计算能力，属于基础题． 2．（2021秋•杨浦区期末）设a＞0，下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据指数幂的运算性质分别判断即可． 【解答】解：对于A：•＝≠a，故A错误， 对于B：÷＝≠a，故B错误， 对于C：＝a，故C正确， 对于D：＝a﹣1＝，故D错误， 故选：C． 【点评】本题考查了指数幂的运算性质，是基础题． 3．（2021秋•闵行区期末）设，则＝　4　． 【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解． 【解答】解：∵， ∴＝•x﹣1＝＝＝22＝4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题． 4．（2022•徐汇区校级开学）已知a，b为正数，化简＝　　． 【分析