(普查练习)第44课 圆锥曲线的综合问题-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第44课 圆锥曲线的综合问题 普查与练习44　　　　圆锥曲线的综合问题 1．直线与圆锥曲线的位置关系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)(2023改编，5分)关于直线与圆锥曲线的位置关系，有如下命题： ①若a>b>0，则直线＋＝1与椭圆＋＝1一定相交； ②与双曲线的渐近线平行的直线不可能与该双曲线相切； ③过圆锥曲线焦点的直线一定与该圆锥曲线相交； ④存在某条直线与双曲线x2－2y2＝1有四个交点． 其中，错误的命题有__④__． 解析：直线＋＝1经过点(b，0)，因为a>b>0，所以该点在椭圆内，因此直线＋＝1一定与椭圆＋＝1相交，故①正确；与双曲线的渐近线平行的直线一定与双曲线相交，故②正确；焦点在圆锥曲线的内部，过圆锥曲线内部的点的直线一定与圆锥曲线相交，故③正确；直线与双曲线最多有两个交点，故④错误．故错误的命题有④. (2)(2021浙江模拟，4分)已知F1是椭圆C：＋＝1(a>)的左焦点，经过点P(0，－2)作两条互相垂直的直线l1和l2，当直线l1经过点F1时，直线l2与C有且只有一个公共点，则a＝(　D　) A．2 B．3 C. D．2 解析：设F1(－c，0)，则c＝. 当直线l1经过点F1时，直线l1的斜率kPF1＝， ∴直线l2的斜率为，方程为y＝x－2， 与椭圆C的方程联立， 消去y得3x2＋a22＝3a2， 整理得(a2c2＋12)x2－8a2cx＋4a2＝0. ∵直线l2与椭圆C有且只有一个公共点， ∴Δ＝64a4c2－16a2(a2c2＋12)＝0，∴ac＝2， ∴c＝＝，即a4－3a2－4＝0，解得a2＝4， ∴a＝2.故选D. 2．弦长和面积问题 (3)(2023汇编，20分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为2，离心率为. (Ⅰ)求椭圆C的方程； 答案：＋y2＝1 解析：解：由题意可得2a＝2，即a＝.(1分) 因为椭圆C的离心率为， 所以e＝＝，所以c＝1， 所以b2＝a2－c2＝1，(3分) 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(4分) (Ⅱ)过点(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，M为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足＋＝m，其中m∈，求|AB|的取值范围； 答案： 解析：解：显然直线l的斜率存在，设过点(2，0)的直线l的方程为y＝k(x－2)， 联立方程消去y整理得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0， 则Δ＝64k4－4(1＋2k2)·(8k2－2)>0，即k2<.(5分) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝k＝－. 由＋＝m，得(x1＋x2，y1＋y2)＝m(xM，yM)， 所以xM＝·，yM＝·.(6分) 将(xM，yM)代入椭圆方程可得·2＋·2＝1，解得m2＝. 因为m∈， 所以≤≤，解得≤k2≤1， 结合Δ>0，所以≤k2<.(8分) 由弦长公式可得， |AB|＝|x1－x2| ＝· ＝· ＝2· ＝2· ＝2· ＝2· ＝2·.(10分) 因为≤k2<，所以≤1＋2k2<2， 所以<≤. 因为函数y＝2－在上单调递增， 所以2·∈， 即|AB|∈.(12分) (Ⅲ)如图，直线GH为椭圆C与抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的公切线，其中点G，H分别在C，C1上，线段OH交C于点N，求△NGH的面积的最小值． 答案： 解析：解：设G(x3，y3)，H(x4，y4)，直线GH的方程为y＝nx＋b′，不妨取n>0，b′>0. 联立整理得(2n2＋1)x2＋4nb′x＋2b′2－2＝0①， 则Δ1＝(4nb′)2－4(2n2＋1)(2b′2－2)＝0， 所以b′2＝2n2＋1. 将其代入①式，得b′2x2＋4nb′x＋4n2＝0， 解得x＝，所以x3＝. 联立n2x2＋2(nb′－p)x＋b′2＝0②， 则Δ2＝4(nb′－p)2－4n2b′2＝0， 所以p＝2nb′.将其代入②式，解方程得x＝， 所以x4＝， 所以＝＝＝.(15分) 由x4＝可得y4＝2b′，所以kOH＝2n， 所以直线OH：y＝2nx. 联立整理得x2＝1， 所以xN＝，yN＝， 所以点N到GH的距离为d＝＝，(16分) 所以S△NGH＝|GH|·d ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝.(18分) 令t＝4n＋(t≥4)， 则S△NGH＝ ＝≥× ＝2×＝， 当且仅当4n＝，即n＝时取等号． 由椭圆和抛物线的对称性， 可知当n<0，b′<0，S△NGH最小值也是. 综上，S△NGH的最小值为.(20分) 3．求值、求点、求方程问题 (4)(2019天津，13分)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为. (Ⅰ)求椭圆的方程； 答案：＋