(普查练习)第41课 双曲线-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第41课 双曲线 普查与练习41　　　　双曲线 1．双曲线的标准方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a．利用定义法求双曲线的标准方程(与双曲线有关的轨迹问题) (1)(2021重庆模拟，5分)在平面直角坐标系中，一动圆C与x轴相切于点A(4，0)，分别过点M(－5，0)，N(5，0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上)，则点P的轨迹方程为(　A　) A.－＝1(x>4) B.－＝1(x<－4) C.＋＝1(x>4) D.＋＝1(x<－4) 解析：根据题意，圆的圆心在直线x＝4上． 如图所示，设过点M，N的切线与圆分别交于点S，T， 则|MA|＝|MS|，|NA|＝|NT|，|PS|＝|PT|， ∴|PM|－|PN|＝|AM|－|AN|＝5＋4－(5－4)＝8<10＝|MN|，∴P的轨迹满足双曲线的定义，是双曲线的右支，除去A点，且a＝4，c＝5，b＝3， ∴P的轨迹方程为－＝1(x>4)．故选A. b．利用待定系数法求双曲线的标准方程 (2)(2023汇编，19分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)． ①若双曲线C过点(，)，且离心率为2，则双曲线的方程为(　A　)(2021北京，4分) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1 ②若双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线的方程为(　B　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 ③若双曲线C过点(2，－1)，且与双曲线－＝1有相同的渐近线，则双曲线的方程为(　D　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 ④若双曲线C的离心率为，且经过左焦点F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　B　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：①∵e＝＝2，∴c＝2a，b＝＝a，则双曲线C的方程为－＝1. 将(，)代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝， ∴双曲线C的方程为x2－＝1.故选A. ②(法一)∵双曲线C的一条渐近线方程为y＝x， ∴＝(ⅰ)． ∵双曲线C与椭圆＋＝1有公共焦点， ∴双曲线的半焦距c＝＝3， ∴a2＋b2＝c2＝9(ⅱ)． 由(ⅰ)(ⅱ)解得a＝2，b＝， ∴双曲线C的方程为－＝1.故选B. (法二)∵双曲线C与椭圆＋＝1有公共焦点， ∴双曲线C的方程可设为－＝1(3<λ<12)， ∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x. 又∵双曲线C的一条渐近线方程为y＝x， ∴＝，解得λ＝8， ∴双曲线C的方程为－＝1.故选B. (法三)∵双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，即x－2y＝0， ∴可设双曲线C的方程为5x2－4y2＝λ(λ≠0)，即－＝1(λ≠0)． ∵双曲线C与椭圆＋＝1有公共焦点， ∴双曲线的半焦距c＝＝3，且λ>0， ∴＝3，解得λ＝20， ∴双曲线C的方程为－＝1.故选B. ③根据题意可设双曲线C的方程为－＝λ1(λ1≠0且λ1≠1)． ∵双曲线C过点(2，－1)， ∴－＝λ1，解得λ1＝， ∴双曲线C的标准方程为－＝1，即－＝1. 故选D. ④(法一)∵e＝＝＝＝＝， ∴a＝b， ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.由经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，可得＝＝1，解得c＝4. 又∵a2＋b2＝c2，∴a＝b＝2， ∴双曲线的方程为－＝1.故选B. (法二)∵离心率为， ∴双曲线为等轴双曲线，又经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，∴c＝4. 根据a∶b∶c＝1∶1∶，可得a＝b＝2， ∴双曲线的方程为－＝1.故选B. 2．双曲线的离心率 a．求离心率 (3)(2023汇编，20分)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点． ①设双曲线C的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为____．(2020全国Ⅲ) ②设A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为__2__．(2020全国Ⅰ) ③设F(4，0)，直线y＝x与双曲线C相交于M，N两点，线段MF，NF的中点分别为G，H，若⊥，则C的离心率为(　D　) A. B. C．4 D．2 ④设以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　A　)(2019全国Ⅱ) A. B. C．2 D. 解析：①由双曲线的方程可得渐近线的方程为y＝±x， 所以＝， 所以离心率e＝＝＝.　 ②由题可知点A的坐标为(a，0)． 设双曲线C的半焦距为c，离心率为e. 因为B为C上的点，且BF垂直于x轴， 所以B. 又AB的斜率为3，所以B在x轴上方， 所以B， 所以＝3. 将b2＝