(普查练习)第23课 平面向量的数量积和平面向量的应用-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第23课 平面向量的数量积和平面向量的应用 普查与练习23Ⅰ　　　　平面向量的数量积 1．平面向量的数量积及其运算律 a．向量数量积相关概念、性质和运算律的辨析 (1)(2023改编，5分)给出下列说法： ①若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角． ②若a，b共线，则a·b＝. ③若a·b＝a·c，则b＝c. ④(a·b)·c＝a·(b·c)． ⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0；若a2＝b2，则a＝b或a＝－b. ⑥在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形． 其中说法错误的是__①②③④⑤⑥__．(填序号) 解析：①错误：若a·b>0，则a和b的夹角为锐角或零度角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角或平角． ②错误：若a，b共线，则a·b＝±. ③错误：当a＝0时，满足a·b＝a·c，b，c可以是任意向量，不一定相等；当a⊥(b－c)时，a·(b－c)＝0，满足a·b＝a·c，但b与c可以不相等． ④错误：设向量a，b和b，c的夹角分别为α，β，则向量(a·b)·c表示模为＝，且与向量c共线的向量，而向量a·(b·c)表示模为＝，且与向量a共线的向量，所以(a·b)·c和a·(b·c)不一定相等． ⑤错误：若a·b＝0，则当a，b都是非零向量时，有a⊥b；当a，b不都是非零向量时，有a＝0或b＝0；若a2＝b2，即2＝2，则＝，方向无法确定． ⑥错误：在△ABC中，若·<0，则cos(π－B)<0，所以cos(π－B)<0，即cosB>0，又因为0<B<π，所以0<B<，无法判断△ABC为钝角三角形． b．直接求向量的数量积或其范围 (2)(经典题，5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　B　) A．－　　　 　B.　　　 　C.　　　 　D. 解析：(定义法)∵·＝(＋)·＝·＋·，又∵·＝cos120°＝×1×＝－，·＝·cos60°＝×1×＝， ∴·＝－＋＝.故选B. (基底法)设＝a，＝b，∵点D，E分别是边AB，BC的中点，∴＝＝(－)＝(b－a)． 又∵DE＝2EF，∴＝＝(b－a)， ∴＝＋＝－a＋(b－a)＝－a＋b， ∴·＝·b＝－a·b＋b2＝－×1×1×cos60°＋×12＝－＋＝.故选B. (坐标法)以E为坐标原点，方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，易得E(0，0)，B，C，A，D. ∵DE＝2EF，∴F，∴＝，＝(1，0)， ∴·＝·(1，0)＝.故选B. (3)(2021天津，5分)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2＋|的值为__1__；(＋)·的最小值为____． 解析：(法一)如图，过F作AB的垂线，垂足为G，则FG∥DE. 又因为DF∥GE，DE⊥AB，所以四边形DEGF是矩形， 所以GF＝DE，＝. 因为∠A＝∠B＝60°，所以BE＝＝＝AG， 所以＝，所以2＋＝＋＋＝， 所以|2＋|＝||＝1. 因为＝＋，⊥，⊥，且与同向， 所以(＋)·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ＝||2＋||·||. 设DE＝x，则BE＝AG＝x， DF＝EG＝AB－BE－AG＝1－x，EA＝AB－BE＝1－x. 当点D与点C重合时，DE取得最大值，最大值为， 所以x∈. (＋)·＝x2＋＝x2－x＋1. 因为抛物线y＝x2－x＋1开口向上，对称轴为x＝＝，而∈， 所以当x＝时，y＝x2－x＋1有最小值， 最小值为×2－×＋1＝. 故答案为1；. (法二)设BE＝x，x∈， 因为△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB， 所以∠BDE＝30°，BD＝2x，所以DE＝x，DC＝1－2x. 因为DF∥AB， 所以△DFC是边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF， 所以(2＋)2＝42＋4·＋2＝4x2＋4x(1－2x)×cos0°＋(1－2x)2＝1，所以|2＋|＝1. 因为(＋)·＝(＋)·(＋) ＝2＋·＋·＋·＝2＋· ＝(x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1＝52＋， 所以当x＝时，(＋)·取得最小值，最小值为.故答案为1；. c．向量数量积几何意义的巧妙应用 (4)(2021黑龙江哈尔滨月考，5分)已知点O为正三角形ABC的重心，且AO＝2，则·＝__6__． 解析：如图，设D为BC的中点， 因为O是正△ABC的重心，所以AO∶OD＝2∶1. 因为AO＝2，所以OD＝1，所以AD＝AO＋OD＝2＋1＝3. 由数量积的几何意义可知·＝||||cos∠BAD＝||(||cos∠BAD)＝||||＝2×3＝6. (5)(2020山东，5分)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一