(普查练习)第21课 平面向量的基本概念与线性运算-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第21课 平面向量的基本概念与线性运算 普查与练习21　　　　平面向量的基本概念与线性运算 1．平面向量的基本概念及其理解 (1)(2023汇编，5分)给出下列命题： ①向量是有向线段，因此可以用有向线段表示向量； ②单位向量都相等； ③若＝2，＝1，则a>b； ④若a＝b，b＝c，则a＝c； ⑤若向量＝，则A，B，C，D四点能构成平行四边形； ⑥若a∥b，b∥c，则a∥c； ⑦向量a＝b的充要条件是＝且a∥b； ⑧与非零向量a共线的单位向量为±； ⑨若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零； ⑩若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ⑪向量与相等； ⑫平行向量不一定是共线向量． 其中正确的是__④⑧__．(只填序号) 解析：①错误：向量可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段．正确说法：向量与有向线段是两个不同的概念，向量可以用有向线段表示． ②错误：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量，即单位向量的模都为1，但是方向不确定，所以单位向量不一定都相等． ③错误：向量本身不能比较大小，向量的模可以比较大小．正确说法：若＝2，＝1，则> . ④正确：因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同．又b＝c，所以b，c的长度相等且方向相同．所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. ⑤错误：若向量＝，则＝且∥，所以直线AB与CD平行或重合，故A，B，C，D四点不一定能构成平行四边形．正确说法：已知A，B，C，D是不共线的四点，若向量＝，则A，B，C，D四点能构成平行四边形． ⑥错误：零向量与任一向量平行，故当a∥b，b∥c时，若b＝0，则a，c不一定平行． ⑦错误：当＝且a∥b时，若a，b方向相反，则a与b是相反向量，即a＝－b，得不到a＝b；当向量a＝b时，a与b的模相等且方向相同，所以可以得到＝且a∥b.综上，向量a＝b是＝且a∥b的充分不必要条件． ⑧正确：向量的方向与非零向量a的方向相同，向量的模为＝·＝·＝1；向量－的方向与非零向量a的方向相反，向量－的模为＝· ＝·＝1.综上，向量±是与非零向量a共线的单位向量． ⑨错误：当a＝0时，λa＝0，此时λ为任意实数． ⑩错误：模相等的两个向量的方向是任意的． ⑪错误：向量与向量为相反向量． ⑫错误：平行向量与共线向量是同一概念，所以平行向量一定是共线向量． 2．平面向量的线性运算 a．平面向量的线性运算及其几何意义 (2)(2023汇编，10分)如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点． ①若F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝(　C　) A．－＋ B.－ C.－ D.－ ②设＝a，＝b，则＝(　D　) A.a＋b B.a－b C.a＋b D.a－b 解析：①∵F是线段AE上靠近点A的三等分点，∴＝， ∴＝＋＝－＋＝－＋(＋)＝－＋＋＝－.故选C. ②设AC与BD的交点为O，如图所示． ∵＝a，＝b， ∴＝＝－＝－＝a－b. ∵E是BC的中点， ∴＝＝(－) ＝＝(－) ＝(＋)＝a＋b， ∴＝＋＝a－b＋a＋b＝a－b. 故选D. (3)(2020海南，5分)在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝(　C　) A．2＋ B.－2 C．2－ D.＋2 解析：∵D是AB边上的中点，∴＋＝2， ∴＝2－.故选C. b．根据平面向量的线性运算求参数 (4)(2021北京模拟，4分)如图，每个小正方形的边长都是1，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ·μ的值为(　C　) A．1 B. C．－ D．－ 解析：由题图知＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝－. ∵＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝－，∴λ·μ＝－.故选C. (5)(2020河南焦作期中，5分)已知△ABC内接于圆O，且线段AB的延长线与线段OC的延长线相交．设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围是(　C　) A．(－1，1) B．(－1，0) C．(0，1) D. 解析：设线段AB的延长线与线段OC的延长线相交于点D，则易知点D是圆O外一点． 设＝t(t＞1)， ∵B，A，D三点共线且D在AB的延长线上， ∴可设＝k(k＞0)，即－＝k(－)， ∴＝(k＋1)－k， ∴t＝(k＋1)－k(t＞1，k＞0)， 则＝ ＋ (t＞1，k＞0)． 又∵＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝， ∴λ＋μ＝∈(0，1)．故选C. c．根据向量的三角不等式解决有关向量的不等式问题 (6)(2023汇编，15分)已知a，b是两个非零向量． ①若向量a，b满足|a|＝4，|b|＝6，则|a＋b|的最小值是__2__，|a－b|的最大值是__10__. ②若|b|≤1，|2a＋b|＝2，则|b|＋|a＋b|的最大值是(　B　) A. B. C．3 D．5 ③若b＝(，1)，|2a－b|＝1，则|a|的取值范围为(　C　) A. B．(1，3) C. D．(