(普查练习)第21课 平面向量的基本概念与线性运算-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第21课 平面向量的基本概念与线性运算

普查与练习21　　　　平面向量的基本概念与线性运算

 

1．平面向量的基本概念及其理解

(1)(2023汇编，5分)给出下列命题：

①向量是有向线段，因此可以用有向线段表示向量；

②单位向量都相等；

③若＝2，＝1，则a>b；

④若a＝b，b＝c，则a＝c；

⑤若向量＝，则A，B，C，D四点能构成平行四边形；

⑥若a∥b，b∥c，则a∥c；

⑦向量a＝b的充要条件是＝且a∥b；

⑧与非零向量a共线的单位向量为±；

⑨若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；

⑩若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

⑪向量与相等；

⑫平行向量不一定是共线向量．

其中正确的是__④⑧__．(只填序号)

解析：①错误：向量可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段．正确说法：向量与有向线段是两个不同的概念，向量可以用有向线段表示．

②错误：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量，即单位向量的模都为1，但是方向不确定，所以单位向量不一定都相等．

③错误：向量本身不能比较大小，向量的模可以比较大小．正确说法：若＝2，＝1，则> .

④正确：因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同．又b＝c，所以b，c的长度相等且方向相同．所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

⑤错误：若向量＝，则＝且∥，所以直线AB与CD平行或重合，故A，B，C，D四点不一定能构成平行四边形．正确说法：已知A，B，C，D是不共线的四点，若向量＝，则A，B，C，D四点能构成平行四边形．

⑥错误：零向量与任一向量平行，故当a∥b，b∥c时，若b＝0，则a，c不一定平行．

⑦错误：当＝且a∥b时，若a，b方向相反，则a与b是相反向量，即a＝－b，得不到a＝b；当向量a＝b时，a与b的模相等且方向相同，所以可以得到＝且a∥b.综上，向量a＝b是＝且a∥b的充分不必要条件．

⑧正确：向量的方向与非零向量a的方向相同，向量的模为＝·＝·＝1；向量－的方向与非零向量a的方向相反，向量－的模为＝·

＝·＝1.综上，向量±是与非零向量a共线的单位向量．

⑨错误：当a＝0时，λa＝0，此时λ为任意实数．

⑩错误：模相等的两个向量的方向是任意的．

⑪错误：向量与向量为相反向量．

⑫错误：平行向量与共线向量是同一概念，所以平行向量一定是共线向量．

2．平面向量的线性运算

a．平面向量的线性运算及其几何意义

(2)(2023汇编，10分)如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点．

①若F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝(　C　)

A．－＋  B.－

C.－  D.－

②设＝a，＝b，则＝(　D　)

A.a＋b  B.a－b

C.a＋b  D.a－b

解析：①∵F是线段AE上靠近点A的三等分点，∴＝，

∴＝＋＝－＋＝－＋(＋)＝－＋＋＝－.故选C.

②设AC与BD的交点为O，如图所示．

∵＝a，＝b，

∴＝＝－＝－＝a－b.

∵E是BC的中点，

∴＝＝(－)