(普查练习)第28课 不等关系与不等式-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第28课 不等关系与不等式 普查与练习28　　　　不等关系与不等式 1．日常生活中的不等关系 (1)(2019北京，5分)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%. (Ⅰ)当x＝10时，若顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，则需要支付__130__元； (Ⅱ)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__15__． 解析：(Ⅰ)根据题意可知顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总价为60＋80＝140(元)，达到了120元，此时顾客可以少付10元，则顾客需要支付140－10＝130(元)． (Ⅱ)在促销活动中，设订单总金额为m元． 若m＜120，则李明得到的支付款为80%m，符合题意． 若m≥120，则(m－x)×80%≥m×70%，解得x≤，即有x≤恒成立．因为m≥120，所以x≤＝15.故x的最大值为15. 2．不等式的性质及其应用 a．利用不等式的性质判断不等关系 (2)(2023改编，5分)已知实数a，b，c满足a>b>0>c，则下列不等式中成立的有__③⑤⑦__．(填序号) ①a2c>b2c；②a＋c<b＋c；③a3b>ab3；④>； ⑤a＋>b＋；⑥>；⑦ <；⑧<； ⑨>；⑩<. 解析：①不成立，∵a>b>0，∴a2>b2.又∵c<0，∴a2c<b2c.②不成立，由不等式的性质，不等号的两边都加上同一个实数，所得到的不等式与原不等式同向，∴a＋c>b＋c.③成立，∵a>b>0，∴a2>b2，ab>0，∴a2·ab>b2·ab，即a3b>ab3.④不成立，∵a>b>0，∴>，又∵c<0，∴<.⑤成立，∵a>b>0，∴>，∴a＋>b＋>b＋.⑥不成立，＝＝，＝＝.又∵a>b>0，∴ab＋a>ab＋b>0，a(a＋1)>0，∴<，即<.(或者直接应用真分数的性质：∵a>b>0，∴0<<1，∴由真分数的性质得<)⑦成立，∵a>b>0，∴0<2a＋b<3a，a＋2b>3b>0，∴0<<，∴<＝.⑧不成立，∵c<0，∴<0.又∵a>b>0，∴>.⑨不成立，∵c<0，∴－c>0.又∵a>b>0，∴a－c>b－c>0, ∴0<<，∴<.⑩不成立，∵a>b>0，∴<.又∵c<0，∴>，∴>. b．作差法比较大小 (3)(2023汇编，15分)试比较下列各组式子的大小： (Ⅰ)x3－2y3与xy2－2x2y，其中x＞y＞0； 答案：x3－2y3>xy2－2x2y 解析：解：(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)(x＋2y)＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)．(2分) 因为x＞y＞0，所以x－y＞0，x＋y＞0，x＋2y＞0， 所以(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＞0， 即x3－2y3＞xy2－2x2y.(5分) (Ⅱ)x＋y＋与＋＋xy，其中x≥1，y≥1； 答案：x＋y＋≤＋＋xy 解析：解：因为x≥1，y≥1，所以xy≥1.要比较x＋y＋，＋＋xy的大小，只需比较xy(x＋y)＋1，y＋x＋(xy)2的大小即可．(6分) 作差比较xy(x＋y)＋1，y＋x＋(xy)2的大小． y＋x＋(xy)2－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy－1)(xy＋1)－(xy－1)(x＋y) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)．(8分) 因为x≥1，y≥1，xy≥1， 所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0， 所以xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2， 即x＋y＋≤＋＋xy.(10分) (Ⅲ)x与，其中x∈R且x≠0. 答案：当x＝±1时，x＝；当－1＜x＜0或x＞1时，x＞；当x＜－1或0＜x＜1时，x＜ 解析：解：x－＝＝.(11分) 令＝0，解得x＝±1； 令>0，即x(x－1)(x＋1)>0， 利用穿针引线法解得－1＜x＜0或x＞1； 令<0，即x(x－1)(x＋1)<0， 利用穿针引线法解得x＜－1或0＜x＜1.(14分) 综上可知，当x＝±1时，x＝； 当－1＜x＜0或x＞1时，x＞； 当x＜－1或0＜x＜1时，x＜.(15分) (4)(2020甘肃张掖模拟，5分)已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，z＝(ab)0.25，则x，y，z的大小关系是(　C　) A．x>y>z B．z>y>x C．y>x>z D．x>z>y 解析：由x＝，y＝，z＝(ab)0.25， 可得x2＝，y2＝a＋b，z2