(普查练习)第11课 函数与方程-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第11课 函数与方程 普查与练习11　　　　函数与方程 1．函数零点所在区间的判断 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a．利用零点存在定理判断函数零点所在区间 (1)(2021湖北荆州四模，5分)在下列区间中，函数f(x)＝ex－4x－3一定不存在零点的区间为(　C　) A. B．(－e，3) C. D. 解析：由f(x)＝ex－4x－3，得f′(x)＝ex－4. 令f′(x)＝0，即ex－4＝0，解得x＝ln4，∴当x∈(－∞，ln4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(ln4，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 对于A，f(－1)＝＋1>0，f＝－5<0，∴f(x)在内一定存在零点，故A错误； 对于B，f(－e)＝e－e＋4e－3>0，f(3)＝e3－15>0.又∵－e<ln4<3，f(ln4)＝eln4－4ln4－3＝1－4ln4<0，∴f(x)在(－e，3)内一定存在零点，故B错误； 对于C，f(0)＝－2<0，f<0.∵<ln4，∴f(x)在上单调递减，∴f(x)在内一定不存在零点，故C正确； 对于D，f(－1)>0，f＝－－3<0，∴f(x)在内一定存在零点，故D错误． 故选C. b．利用数形结合法判断函数零点所在区间 (2)(2021辽宁模拟，5分)函数y＝2x＋x－5的零点所在的区间为(　B　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(4，5) 解析：(法一)令f(x)＝2x＋x－5＝0，可得2x＝－x＋5. 令g(x)＝2x，h(x)＝－x＋5，则函数f(x)的零点即为g(x)，h(x)图像交点的横坐标． 在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)，h(x)的图像，如图所示： 由图可知g(x)，h(x)图像的交点横坐标在(1，2)内，∴函数f(x)的零点所在区间为(1，2)． 故选B. (法二)设f(x)＝2x＋x－5，则f′(x)＝2xln2＋1>0，∴f(x)在R上单调递增，至多有一个零点． 又f(1)＝2＋1－5＝－2<0，f(2)＝22＋2－5＝1>0，∴函数y＝2x＋x－5的零点所在的区间为(1，2)．故选B. 2．函数零点个数的判断 a．利用零点存在定理法判断函数零点个数 (3)(2021江苏苏州月考节选，5分)已知函数g(x)＝x2－1－2sinx，则g(x)在区间(0，π)上有__1__个零点． 解析：g(x)＝x2－1－2sinx，x∈(0，π)，则g′(x)＝2x－2cosx. ①当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 又g＝－3<0，g(π)＝π2－1>0，∴g(x)在区间上有一个零点． ②当x∈时，设h(x)＝g′(x)＝2x－2cosx，则h′(x)＝2＋2sinx>0，∴g′(x)在区间上单调递增． 又g′(0)＝－2<0，g′＝π>0，∴存在x0∈，使g′(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 又g(0)＝－1<0，g<0，∴g(x)在区间上无零点． 综上，函数g(x)在区间(0，π)上只有一个零点． b．利用解方程法判断函数零点个数 (4)(2021北京海淀区期中，5分)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为__2__． 解析：函数f(x)的零点个数即为方程f(x)＝0的实数根的个数．当x<1时，令(x＋1)ex＝0，因为ex>0，所以x＋1＝0，解得x＝－1；当x≥1时，令x2－2x＝0，解得x＝2，所以方程 f(x)＝0有两个实数根，所以函数f(x)的零点个数为2. c．利用数形结合法判断函数零点个数 (5)(2021北京，5分)已知函数f(x)＝|lgx|－kx－2，给出下列四个结论： ①若k＝0，则f(x)有两个零点； ②∃k<0，使得f(x)有一个零点； ③∃k<0，使得f(x)有三个零点； ④∃k>0，使得f(x)有三个零点． 以上正确结论的序号是__①②④__． 解析：令f(x)＝|lgx|－kx－2＝0，得|lgx|＝kx＋2. 设g(x)＝|lgx|，h(x)＝kx＋2，所以f(x)的零点个数就是函数g(x)＝|lgx|与函数h(x)＝kx＋2图像的交点个数，函数g(x)＝|lgx|的图像如图所示． 易知函数h(x)的图像是经过点P(0，2)的一条直线，如图，过P作g(x)的两条切线，切点分别是A，B，过P作与x轴平行的直线PM. 由图可知， 当直线y＝h(x)在y轴与PA之间(不含边界)，即k<kPA时，g(x)与h(x)的图像没有交点； 当直线y＝h(x)为PA，即k＝kPA时，g(x)与h(x)的图像有一个