(普查练习)第10课 函数的值域与最值-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第10课 函数的值域与最值 普查与练习10　　　　函数的值域与最值 1．求函数值域的常用方法 (1)(2023汇编，50分)解决下列问题： ①求函数f(x)＝的最大值． 答案：1 解：当x>1时，f(x)＝是减函数，且f(x)<0. 当x≤1时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1， 易知f(x)在(－∞，1]上单调递增，且f(1)＝1， 所以函数f(x)的最大值为1.(5分) ②求函数f(x)＝log2(－x2＋2x＋3)的值域． 答案：(－∞，2] 解：若函数f(x)有意义，则－x2＋2x＋3>0，解得－1<x<3， 所以函数f(x)＝log2(－x2＋2x＋3)的定义域为(－1，3)． 因为0＜－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4≤4， 所以log2(－x2＋2x＋3)≤log24＝2， 所以函数f(x)＝log2(－x2＋2x＋3)的值域为(－∞，2]．(10分) ③已知函数f(x)＝3x＋3－x，若函数g(x)＝f(2x)－3f(x)，求函数g(x)在[0，＋∞)上的值域． 答案：[－4，＋∞) 解：根据题意得，函数g(x)＝f(2x)－3f(x)＝32x＋3－2x－3(3x＋3－x) ＝(3x＋3－x)2－3(3x＋3－x)－2，x∈[0，＋∞)． 令m＝3x＋3－x，x∈[0，＋∞)，根据基本不等式得m＝3x＋3－x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，则h(m)＝m2－3m－2，m∈[2，＋∞)． 因为函数h(m)＝m2－3m－2＝－在[2，＋∞)上单调递增，所以当m＝2时，h(m)取得最小值－4，即函数g(x)在[0，＋∞)上的值域为[－4，＋∞)．(15分) ④求函数y＝2x＋的值域． 答案： 解：令1－2x≥0，得x≤，即函数y＝2x＋的定义域为. 令t＝(t≥0)，则x＝， 所以y＝－t2＋t＋1＝－＋，t≥0， 所以当t＝，即x＝时，ymax＝，无最小值， 所以函数y＝2x＋的值域为.(20分) ⑤求函数y＝的值域． 答案：(－1，1] 解：y＝＝－1＋. 因为1＋x2≥1， 所以0<≤2， 所以－1<－1＋≤1， 所以函数y＝的值域为(－1，1]．(25分) ⑥求函数f(x)＝(x>1)的最小值． 答案：8 解：因为x>1，所以x－1>0， 所以f(x)＝ ＝ ＝x－1＋＋2 ≥2＋2 ＝8，　 当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立， 所以函数f(x)＝(x>1)的最小值为8.(30分) ⑦求函数y＝x－的值域． 答案： 解：若函数有意义，则1－2x≥0，解得x≤， 故函数的定义域为. 易知函数y＝x和y＝－均为增函数， 所以函数y＝x－在定义域上是增函数， 所以y≤－＝， 所以函数y＝x－的值域为.(35分) ⑧求函数y＝的值域． 答案： 解：原式可化为ysinx－cosx＝3y，所以sin(x＋β)＝3y， 其中sinβ＝－，cosβ＝，即sin(x＋β)＝. 因为sin(x＋β)∈[－1，1]，所以－1≤≤1， 解得－≤y≤，故函数的值域为[－，]．(40分) ⑨求函数f(x)＝＋的最小值． 答案：5 解：因为f(x)＝＋＝＋， 所以f(x)的几何意义为一动点到两定点的距离的和． 设动点P(x，0)，两定点为A(1，1)和B(4，－3)，则f(x)＝|PA|＋|PB|≥|AB|＝＝5， 所以函数f(x)＝＋的最小值为5.(45分) ⑩求函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域． 答案： 解：因为f(x)＝ex(sinx＋cosx)，x∈， 所以f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx≥0， 所以函数f(x)在上单调递增． 因为f(0)＝，f＝， 所以函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为.(50分) 2．函数最值的应用 a．根据最值的条件求解参数的范围 (2)(2021广东佛山顺德区月考，5分)已知函数f(x)＝|x3＋2x＋a|在[1，2]上的最大值是6，则实数a的值是__－9或－6__． 解析：不妨设函数f(x)的定义域为[1，2]． 当a≥0时，f(x)＝x3＋2x＋a(1≤x≤2)， 则f(2)＝23＋22＋a＝12＋a≥12，不符合题意． 当a<0时，设g(x)＝x3＋2x(1≤x≤2)． 易知函数g(x)在区间[1，2]上单调递增， 所以其值域为[g(1)，g(2)]，即[3，12]， 所以3≤x3＋2x≤12， 所以3＋a≤x3＋2x＋a≤12＋a. 要使函数f(x)＝|x3＋2x＋a|在[1，2]上的最大值是6， 只需或解得a＝－9或a＝－6. (3)(2020山东泰安模拟，5分)已知函数f(x)＝x＋＋b，x∈[b，＋∞)，其中b>0，a∈R，记M为f(x)的最小值，则当M＝2时，a的取值范