第二章 10 点、直线、平面之间的位置关系章末复习-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学必修2同步资源（人教A版）

高中数学 必修2 点、直线、平面之间的位置关系 测试内容：章末复习 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 题型一：空间点、线、面位置关系的判断与证明 【例1】　如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1. (1)求证：AF∥平面BDE； (2)求证：CF⊥平面BDE. 练1．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE. 题型二：空间角的计算问题 【例2】　如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求： (1)AO与A′C′所成角的度数； (2)AO与平面ABCD所成角的正切值； (3)平面AOB与平面AOC所成角的度数． 练2．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB≠AC，D、E分别是BC、AB的中点，AC＞AD，设PC与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P­BC­A的平面角为γ，则α、β、γ的大小关系是________． 题型三：折叠问题 【例3】　如图所示，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA. (1)证明：平面ACD⊥平面ABC； (2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q­ABP的体积． 练3．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥A­BCD中，下列结论正确的是(　　) A．平面ABD⊥平面ABC　B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC $ 高中数学 必修2 点、直线、平面之间的位置关系 测试内容：章末复习 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 题型一：空间点、线、面位置关系的判断与证明 【例1】　如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1. (1)求证：AF∥平面BDE； (2)求证：CF⊥平面BDE. [证明]　(1)设AC与BD交于点O，连接EO，如图所示， ∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝AC＝1， ∴四边形AOEF为平行四边形，∴AF∥OE. ∵OE⊂平面BDE，AF⊄平面BDE， ∴AF∥平面BDE. (2)连接FO，如图所示． ∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1， ∴四边形CEFO为菱形，∴CF⊥EO. ∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC. 又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC， ∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD. 又BD∩EO＝O，∴CF⊥平面BDE. 空间平行、垂直关系的转化： (1)平行、垂直关系的相互转化 (2)证明空间线面平行或垂直需注意三点 ①由已知想性质，由求证想判定． ②适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一． ③用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论． 练1．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE. [证明]　(1)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC. 又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1， CC1∩DE＝E， 所以AD⊥平面BCC1B1. 又AD⊂平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点， 所以A1F⊥B1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F. 又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE， 所以A1F∥平面ADE. 题型二：空间角的计算问题 【例2】　如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求： (1)AO与A′C′所成角的度数； (2)AO与平面ABCD所成角的正切值； (3)平面AOB与平面AOC所成角的度数． [解]　(1)∵A′C′∥AC， ∴A