(普查练习)第8课 对数与对数函数-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第8课 对数与对数函数 普查与练习8　　　　对数与对数函数 1．对数式的化简与求值 (1)(2021天津，5分)若2a＝5b＝10，则＋＝(　C　) A．－1 B．lg7 C．1 D．log710 解析：2a＝5b＝10，则a＝log210，b＝log510， 所以＋＝＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1.故选C. (2)(2021全国Ⅰ，5分)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V的关系满足L＝5＋lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(　C　)(≈1.259) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 解析：由L＝5＋lgV得，当L＝4.9时，lgV＝－0.1， 则V＝10－0.1＝＝≈≈0.8.故选C. (3)(2023汇编，35分)完成下列问题： ①＝____； ②lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2)2＋lg＋lg0.06＝__1__； ③log23·log34·log45·log52＝__1__； ④已知lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)，则＝__2__； ⑤已知4a＝8，2m＝9n＝6，且＋＝b，则a＋b＝____； ⑥已知log147＝a，14b＝5，则log352＝____(用a，b表示)； ⑦＝__1__． 解析：①原式＝＝ ＝＝＝＝. ②原式＝lg5×(3lg2＋3)＋3×(lg2)2＋lg(×0.06) ＝3lg5×lg2＋3lg5＋3×(lg2)2－2 ＝3lg2＋3lg5－2＝1. ③原式＝×××＝1. ④∵lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)，∴解得＝， ∴＝＝2. ⑤∵4a＝8，2m＝9n＝6，∴a＝log48＝log22＝，m＝log26，n＝log96， ∴＝log62，＝log69，∴b＝＋＝log62＋log69＝log62＋log63＝1，∴a＋b＝. ⑥∵14b＝5，∴b＝log145.∵a＝log147，∴a＋b＝log1435，1－a＝log1414－log147＝log142， ∴log352＝＝. ⑦原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝＝1. 2．对数函数的图像及性质 a．对数型函数图像恒过定点问题 (4)(2021四川成都三模，5分)已知函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a>0且a≠1)的图像恒过定点A，过定点A的直线l：mx＋ny＝1与坐标轴的正半轴相交，则mn的最大值为(　C　) A. B. C. D. 解析：已知l：mx＋ny＝1，即y＝－x＋.∵直线l与坐标轴的正半轴相交， ∴－<0，>0，∴m>0，n>0.令x－1＝1，即x＝2，得f(2)＝1，则A(2，1)，则2m＋n＝1， ∴1＝2m＋n≥2，∴mn≤，当且仅当2m＝n，即m＝，n＝时，等号成立．故选C. b．辨析与对数函数有关的函数图像 (5)(2021天津，5分)函数y＝的图像大致为(　B　) 　　　　　 A　　　　　　　　　　　 B 　　 　C　　　　　　　　　　　 D 解析：令f(x)＝，可知f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．因为f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，排除A，C.当x>1时，ln|x|＝lnx>0，x2＋2>0，所以f(x)>0，排除D.故选B. c．利用对数函数的图像与性质求值或取值范围 (6)(经典题，5分)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　C　) A．(0，1) B．(1，2) C．(1，2] D. 解析：设f(x)＝(x－1)2，g(x)＝logax，要使不等式(x－1)2<logax恒成立，只需当x∈(1，2)时，f(x)＝(x－1)2的图像恒在g(x)＝logax的图像的下方即可．当0<a<1时，g(x)＝logax在 (1，2)上的函数值小于0，f(x)＝(x－1)2在(1，2)上的函数值大于0，显然不成立．当a>1时，在同一坐标系内画出f(x)，g(x)的图像，如图所示． 当x∈(1，2)时，要使f(x)＝(x－1)2的图像恒在g(x)＝logax的图像的下方，只需f(2)≤g(2)，即(2－1)2≤loga2，∴logaa≤loga2.∵a>1，y＝logax是增函数，∴a≤2，∴1<a≤2，即a的取值范围是(1，2]．故选C. (7)(2023改编，5分)函数f(x)＝2x－－2lnx的最小值